Дополнения к главе 2.
1. Делимость многочленов
625-628 дополнить
Задание 622
Докажите формулу разложения на множители для:
а) $a^5 - b^5$;
б) $a^6 - b^6$;
в) $a^5 + b^5$;
г) $a^7 + b^7$.
Решение
а) воспользуемся формулой:
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + ... + ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
тогда:
$a^5 - b^5 = (a - b)(a^{5 - 1} + a^{5 - 2}b + a^{5 - 3}b^{5 - 3} + a^{5 - 4}b^{5 - 2} + b^{5 - 1}) = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
б) воспользуемся формулой:
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + ... + ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
тогда:
$a^6 - b^6 = (a - b)(a^{6 - 1} + a^{6 - 2}b + a^{6 - 3}b^{6 - 4} + a^{6 - 4}b^{6 - 3} + a^{6 - 5}b^{6 - 2} + b^{6 - 1}) = (a - b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$
в) воспользуемся формулой:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + ... - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
тогда:
$a^5 + b^5 = (a + b)(a^{5 - 1} - a^{5 - 2}b + a^{5 - 3}b^{5 - 3} - a^{5 - 4}b^{5 - 2} + b^{5 - 1}) = (a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)$
г) воспользуемся формулой:
$a^n + b^n = (a + b)(a^{n - 1} - a^{n - 2}b + ... - ab^{n - 2} + b^{n - 1})$
тогда:
$a^7 + b^7 = (a + b)(a^{7 - 1} - a^{7 - 2}b + a^{7 - 3}b^{7 - 5}) - a^{7 - 4}b^{7 - 4} + a^{7 - 5}b^{7 - 3} - ab^{7 - 2} + b^{7 - 1}) = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)$
Задание 623
Сократите дробь:
а) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;
б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}$;
в) $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3}$;
г) $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7}$;
д) $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4}$;
е) $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}$;
ж) $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16}$;
з) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$;
и) $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8}$;
к) $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128}$;
л) $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16}$;
м) $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1}$.
Решение
а) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}$
б) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a^2 - ab + b^2} = a + b$
в) $\frac{a^5 - b^5}{a^3 - b^3} = \frac{(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4}{a^2 + ab + b^2}$
г) $\frac{a^5 + b^5}{a^7 + b^7} = \frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{(a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6)} = \frac{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4}{a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6}$
д) $\frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{a^4 - b^4} = \frac{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}{(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)} = \frac{1}{a - b}$
е) $\frac{a^5 + b^5}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4} = \frac{(a + b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)}{a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4} = a + b$
ж) $\frac{a^3 - 8}{a^4 - 16} = \frac{a^3 - 2^3}{a^4 - 2^4} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^3 + a^22 + a2^2 + 2^3)} = \frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{(a - 2)(a^3 + 2a^2 + 4a + 8)} = \frac{a^2 + 2a + 4}{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}$
з) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9} = \frac{a^3 + 3^3}{a^2 - 3a + 9} = \frac{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)}{a62 - 3a + 9} = a + 3$
и) $\frac{a^5 - 32}{a^3 - 8} = \frac{a^5 - 2^5}{a^3 - 2^3} = \frac{(a - 2)(a^4 + a^32 + a^22^2 + a2^3 + 2^4)}{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)} = \frac{a^4 + 2a^3 + 4a^2 + 8a + 16}{a^2 + 2a + 4}$
к) $\frac{a^5 + 32}{a^7 + 128} = \frac{a^5 + 2^5}{a^7 + 2^7} = \frac{(a + 2)(a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16)}{(a + 2)(a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64)} = \frac{a^4 - 2a^3 + 4a^2 - 8a + 16}{a^6 - 2a^5 + 4a^4 - 8a^3 + 16a^2 - 32a + 64}$
л) $\frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 16} = \frac{a^3 + 2a^2 + 4a + 8}{a^4 - 2^4} = \frac{a^3 + 2a62 + 4a + 8}{(a - 2)(a^3 + 2a62 + 4a + 8)} = \frac{1}{a - 2}$
м) $\frac{a^5 + 1}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1} = \frac{(a + 1)(a^4 - a^3 + a^2 - a + 1)}{a^4 - a^3 + a^2 - a + 1} = a + 1$
Задание 624
Сократима ли дробь:
а) $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$;
б) $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$?
Решение
а) $\frac{a^{1999} + b^{1999}}{a^{1997} + b^{1997}}$ − сократима на (a + b)
б) $\frac{a^{1999} - 1}{a^{1998} - 1}$ − сократима на (a − 1)
Задание 625
Разделите с остатком многочлен:
а) $x^3 - 4x^2 + x + 6$ на x + 1; на x − 2; на x − 3;
б) $x^4 + 2x^3 + x^2 + 6$ на $x^2 + x + 1$; на $x^2 + x - 1$; на x + 2;
в) $x^5 - 1$ на $x^4 + 1$; на $x^3 - 1$; на $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$.
Решение
а)
_х3 - 4х2 + х + 6 | х + 1
х3 - х2 х2 - 5х + 6
_5х2 + х
-5х2 - 5х
_6х + 6
6х + 6
0
_х3 - 4х2 + х + 6 | х - 2
х3 - 2х2 х2 - 2х - 3
_-2х2 + х
-2х2 + 4х
_-3х + 6
-3х + 6
0
_х3 - 4х2 + х + 6 | х - 3
х3 + 3х2 х2 - х - 2
_-х2 + х
-х2 + 3х
_-2х + 6
-2х + 6
0
б)
в)
Задание 626
Найдите НОД (A, B), если:
а)
$A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$,
$B = x^3 - 2x^2 + 1$;
б)
$A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$,
$B = x^3 - 1$;
в)
$A = x^5 - x^4 - x^3 + 2x^2 - x$,
$B = x^5 - x^4 + x^3 - x$;
г)
$A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$,
$B = x^2 - 4x + 3$.
Решение
а) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$
$B = x^3 - 2x^2 + 1$
Решение рисунок 1
НОД(A,B) = x − 1
б) $A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$
$B = x^3 - 1$
Решение рисунок 1
НОД(A,B) = x − 1
в) $A = x^5 - x^4 - x^3 + 2x^2 - x$
$B = x^5 - x^4 + x^3 - x$
Решение рисунок 1
$НОД(A,B) = x^2 - x$
г) $A = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 3x$
$B = x^2 - 4x + 3$
Решение рисунок 1
$НОД(A,B) = x^2 - 4x + 3$
Задание 627
Сократите дробь:
а) $\frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3}$;
б) $\frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5}$;
в) $\frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}$;
г) $\frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8}$.
Решение
а) $\frac{x^3 - x^2 + x + 3}{x^2 - 2x + 3} = x + 1$
Решение рисунок 1
б) $\frac{x^3 + x^2 + 3x - 5}{x^2 + 2x + 5} = x - 1$
Решение рисунок 1
в) $\frac{x^3 - 1}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 2}$
Решение рисунок 1
г) $\frac{x^3 + 8}{x^3 - 4x^2 + 8x - 8} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x + 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 2}$
Решение рисунок 1
Задание 628
Докажите, что дробь несократима:
а) $\frac{x^4 + 1}{x^3 + 1}$;
б) $\frac{x^3 + 9}{x^2 - 1}$.
Решение
а) $\frac{x^4 + 1}{x^3 + 1} = \frac{x^4 + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$ − дробь несоркатима
Решение рисунок 1
Решение рисунок 2
б) $\frac{x^3 + 9}{x^2 - 1} = \frac{x^3 + 9}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$ − дробь нескоратима
Решение рисунок 1
Решение рисунок 2
Задание 629
Найдите многочлен A, для которого верно равенство:
а) $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) * A$;
б) $x^{12} - 1 = (x^2 + 1) * A$;
в) $x^{12} - 1 = (x^2 - 1) * A$;
г) $x^{12} - 1 = (x + 1) * A$;
д) $x^{12} - 1 = (x - 1) * A$;
е) $x^{5} - 32 = (x - 2) * A$;
ж) $x^{6} - 64 = (x - 2) * A$;
з) $x^{7} - 128 = (x - 2) * A$.
Решение
а) $x^{12} - 1 = (x^4 - 1) * A$
$A = \frac{x^{12} - 1}{x^4 - 1} = \frac{(x^4)^3 - 1^3}{x^4 - 1} = \frac{(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)}{x^4 - 1} = x^8 + x^4 + 1$
Ответ: $A = x^8 + x^4 + 1$
б) $x^{12} - 1 = (x^2 + 1) * A$
$A = \frac{x^{12} - 1}{x^2 + 1} = \frac{(x^6)^2 - 1^2}{x^2 + 1} = \frac{(x^6 - 1)(x^6 + 1)}{x^2 + 1} = \frac{((x^2)^3 + 1)(x^6 - 1)}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^6 - 1)}{x^2 + 1} = (x^4 - x^2 + x)(x^6 - 1) = x^{10} - x^8 + x^7 - x^4 + x^2 - x$
Ответ: $A = x^{10} - x^8 + x^7 - x^4 + x^2 - x$
в) $x^{12} - 1 = (x^2 - 1) * A$
$A = \frac{x^{12} - 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^6)^2 - 1^2}{x^2 - 1} = \frac{(x^6 - 1)(x^6 + 1)}{x^2 - 1} = \frac{((x^2)^3 - 1)(x^6 + 1)}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^6 + 1)}{x^2 - 1} = (x^4 + x^2 + x)(x^6 + 1) = x^{10} + x^8 + x^7 + x^4 + x^2 + x$
Ответ: $A = x^{10} + x^8 + x^7 + x^4 + x^2 + x$
г) $x^{12} - 1 = (x + 1) * A$
$A = \frac{x^{12} - 1}{x + 1} = \frac{(x^6)^2 - 1}{x + 1} = \frac{(x^6 - 1)(x^6 + 1)}{x + 1} = \frac{((x^3)^2 - 1)(x^6 + 1)}{x + 1} = \frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)(x^6 + 1)}{x + 1} = \frac{(x^3 - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^6 + 1)}{x + 1} = (x^3 - 1)(x^2 - x + 1)(x^6 + 1) = (x^5 - x^2 - x^4 + x + x^3 - 1)(x^6 + 1) = x^{11} - x^8 - x^{10} + x^7 + x^9 - x^6 + x^5 - x^2 - x^4 + x + x^3 - 1 = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$
Ответ: $A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$
д) $x^{12} - 1 = (x - 1) * A$
$A = \frac{x^{12} - 1}{x - 1} = \frac{(x^6)^2 - 1^2}{x - 1} = \frac{(x^6 - 1)(x^6 + 1)}{x - 1} = \frac{((x^3)^2 - 1)(x^6 + 1)}{x - 1} = \frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)(x^6 + 1)}{x - 1} = \frac{(x^3 + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^6 + 1)}{x - 1} = (x^3 + 1)(x^2 + x + 1)(x^6 + 1) = (x^5 + x^2 + x^4 + x + x^3 + 1)(x^6 + 1) = x^{11} + x^8 + x^{10} + x^7 + x^9 + x^6 + x^5 + x^2 + x^4 + x + x^3 + 1 = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
Ответ: $A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$
е) $x^{5} - 32 = (x - 2) * A$
$A = \frac{x^5 - 32}{x - 2} = \frac{x^5 - 2^5}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^4 + x^32 + x^22^2 + x2^3 + 2^4)}{x - 2} = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$
Ответ: $A = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$
ж) $x^{6} - 64 = (x - 2) * A$
$A = \frac{x^5 - 32}{x - 2} = \frac{x^6 - 2^6}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^5 + x^42 + x^32^2 + x^22^3 + x2^4 + 2^5)}{x - 2} = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$
Ответ: $A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32$
з) $x^{7} - 128 = (x - 2) * A$
$A = \frac{x^7 - 128}{x - 2} = \frac{x^7 - 2^7}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x^6 + x^52 + x^42^2 + x^32^3 + x^22^4 + x2^5 + 2^6)}{x - 2} = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$
Ответ: $A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64$
Задание 630
Определите, при каких целых n значение алгебраической дроби:
а) $\frac{5n + 7}{n}$;
б) $\frac{5n + 7}{n + 2}$;
в) $\frac{3n^2 - 6n + 1}{n - 2}$;
г) $\frac{7n + 5}{n}$;
д) $\frac{7n + 5}{n + 1}$;
е) $\frac{2n^2 - 6n + 7}{n - 3}$
является целым числом.
Решение
а) $\frac{5n + 7}{n} = 5 + \frac{7}{n}$ будет целым числом, когда $\frac{7}{n}$ является целым числом, т.е. при n = −7, −1, 1, 7.
б) $\frac{5n + 7}{n + 2} = 5 + \frac{-3}{n + 2}$ будет целым числом, когда $\frac{-3}{n + 2}$ является целым число, т.е. при n равном −5, −3, −1, 1.
_5n + 7 |n+2
5n + 10 5
-3
в) $\frac{3n^2 - 6n + 1}{n - 2} = 3n + \frac{1}{n - 2}$ будет целым числом, когда $\frac{1}{n - 2}$ является целым числом, т.е. при n равном 1, 3.
_3n2 - 6n + 1 |n-2
3n2 - 6n 3n
1
г) $\frac{7n + 5}{n} = 7 + \frac{5}{n}$ будет целым число, когда $\frac{5}{n}$ является целым числом, т.е. при n равном −5, −1, 1, 5.
д) $\frac{7n + 5}{n + 1} = 7 + \frac{-2}{n + 1}$ будет целым числом, когда $\frac{-2}{n + 1}$ является целым числом, т.е. при n равном −3, −2, 0, 1.
_7n + 5 |n+1
7n + 7 7
-2
е) $\frac{2n^2 - 6n + 7}{n - 3} = 2n + \frac{7}{n - 3}$ будет целым числом, когда $\frac{7}{n - 3}$ является целым числом, т.е. при n равном −4, 2, 4, 10.
_2n2 + 6n + 7 |n-3
2n2 - 6n 2n
7
