Задание 506
Выполните действия:
а) $\frac{x - 1}{2} + \frac{1}{2}$;
б) $\frac{2a}{3} - \frac{1 - a}{3}$;
в) $\frac{a + b}{5} + \frac{a}{5}$;
г) $\frac{y}{7} - \frac{x - y}{7}$;
д) $\frac{2 + x}{3} + \frac{2x - 8}{3}$;
е) $\frac{2a}{8} - \frac{a + 1}{8}$.
Решение
а) $\frac{x - 1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{x - 1 + 1}{2} = \frac{x}{2}$
б) $\frac{2a}{3} - \frac{1 - a}{3} = \frac{2a - (1 - a)}{3} = \frac{2a - 1 + a}{3} = \frac{3a - 1}{3}$
в) $\frac{a + b}{5} + \frac{a}{5} = \frac{a + b + a}{5} = \frac{2a + b}{5}$
г) $\frac{y}{7} - \frac{x - y}{7} = \frac{y - (x - y)}{7} = \frac{y - x + y}{7} = \frac{2y - x}{7}$
д) $\frac{2 + x}{3} + \frac{2x - 8}{3} = \frac{2 + x + 2x - 8}{3} = \frac{3x - 6}{3} = \frac{3(x - 2)}{3} = x - 2$
е) $\frac{2a}{8} - \frac{a + 1}{8} = \frac{2a - (a + 1)}{8} = \frac{2a - a - 1}{8} = \frac{a - 1}{8}$
Задание 507
Выполните действия:
а) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a}$;
б) $\frac{a}{x} + \frac{3}{x}$;
в) $\frac{a}{b} - \frac{2a}{b}$;
г) $\frac{3x^2}{a} + \frac{2x^2}{a}$;
д) $\frac{x + 4}{a} + \frac{2x}{a}$;
е) $\frac{x + 1}{x} - \frac{x + 3}{x}$.
Решение
а) $\frac{1}{a} + \frac{2}{a} = \frac{1 + 2}{a} = \frac{3}{a}$
б) $\frac{a}{x} + \frac{3}{x} = \frac{a + 3}{x}$
в) $\frac{a}{b} - \frac{2a}{b} = \frac{a - 2a}{b} = \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$
г) $\frac{3x^2}{a} + \frac{2x^2}{a} = \frac{3x^2 + 2x^2}{a} = \frac{5x^2}{a}$
д) $\frac{x + 4}{a} + \frac{2x}{a} = \frac{x + 4 + 2x}{a} = \frac{3x + 4}{a}$
е) $\frac{x + 1}{x} - \frac{x + 3}{x} = \frac{x + 1 - (x + 3)}{x} = \frac{x + 1 - x - 3}{x} = \frac{-2}{x} = -\frac{2}{x}$
Задание 508
Выполните действия:
а) $\frac{3}{a + b} + \frac{5}{a + b}$;
б) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$;
в) $\frac{a + 3}{a + b} + \frac{a - 3}{a + b}$;
г) $\frac{m + 1}{m + n} - \frac{3 - m}{m + n}$;
д) $\frac{2x - 4}{x - 3} - \frac{3x + 5}{x - 3}$;
е) $\frac{7p - 1}{p + 1} - \frac{7 - p}{p + 1}$.
Решение
а) $\frac{3}{a + b} + \frac{5}{a + b} = \frac{3 + 5}{a + b} = \frac{8}{a + b}$
б) $\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{2 - 1}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$
в) $\frac{a + 3}{a + b} + \frac{a - 3}{a + b} = \frac{a + 3 + a - 3}{a + b} = \frac{2a}{a + b}$
г) $\frac{m + 1}{m + n} - \frac{3 - m}{m + n} = \frac{m + 1 - (3 - m)}{m + n} = \frac{m + 1 - 3 + m}{m + n} = \frac{2m - 2}{m + n}$
д) $\frac{2x - 4}{x - 3} - \frac{3x + 5}{x - 3} = \frac{2x - 4 - (3x + 5)}{x - 3} = \frac{2x - 4 - 3x - 5}{x - 3} = \frac{-x - 9}{x - 3} = -\frac{x + 9}{x - 3}$
е) $\frac{7p - 1}{p + 1} - \frac{7 - p}{p + 1} = \frac{7p - 1 - (7 - p)}{p + 1} = \frac{7p - 1 - 7 + p}{p + 1} = \frac{8p - 8}{p + 1} = \frac{8(p - 1)}{p + 1}$
Задание 509
Выполните действия:
а) $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2x}{1 - x}$;
б) $\frac{1}{x - y} - \frac{1}{y - x}$;
в) $\frac{2a}{a - b} - \frac{3a}{b - a}$;
г) $\frac{4m - 1}{n - m} + \frac{m - 4}{m - n}$;
д) $\frac{2p + q}{p - 2q} + \frac{p + 3q}{2q - p}$;
е) $\frac{8a + b}{1 - a} - \frac{2a - 3b}{a - 1}$.
Решение
а) $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2x}{1 - x} = \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{2x}{x - 1} = \frac{x + 1 - 2x}{x - 1} = \frac{1 - x}{x - 1} = -\frac{x - 1}{x - 1} = -1$
б) $\frac{1}{x - y} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x - y} = \frac{1 + 1}{x - y} = \frac{2}{x - y}$
в) $\frac{2a}{a - b} - \frac{3a}{b - a} = \frac{2a}{a - b} + \frac{3a}{a - b} = \frac{2a + 3a}{a - b} = \frac{5a}{a - b}$
г) $\frac{4m - 1}{n - m} + \frac{m - 4}{m - n} = \frac{4m - 1}{n - m} - \frac{m - 4}{n - m} = \frac{4m - 1 - (m - 4)}{n - m} = \frac{4m - 1 - m + 4}{n - m} = \frac{3m + 3}{n - m} = \frac{3(m + 1)}{n - m}$
д) $\frac{2p + q}{p - 2q} + \frac{p + 3q}{2q - p} = \frac{2p + q}{p - 2q} - \frac{p + 3q}{p - 2q} = \frac{2p + q - (p + 3q)}{p - 2q} = \frac{2p + q - p - 3q}{p - 2q} = \frac{p - 2q}{p - 2q} = 1$
е) $\frac{8a + b}{1 - a} - \frac{2a - 3b}{a - 1} = \frac{8a + b}{1 - a} + \frac{2a - 3b}{1 - a} = \frac{8a + b + 2a - 3b}{1 - a} = \frac{10a - 2b}{1 - a} = \frac{2(5a - b)}{1 - a}$
Задание 510
Подберите одночлен A так, чтобы равенство было верным:
а) $\frac{2}{3} = \frac{A}{3}$;
б) $\frac{7}{10} = \frac{28}{A}$;
в) $\frac{3}{8} = -\frac{A}{32}$;
г) $-\frac{1}{5} = \frac{15}{A}$;
д) $\frac{5}{a} = \frac{A}{ab}$;
е) $\frac{6x}{y} = \frac{A}{6xy^2}$.
Решение
а) $\frac{2}{3} = \frac{A}{3}$
A = 2
б) $\frac{7}{10} = \frac{28}{A}$
$\frac{7 * 4}{10 * 4} = \frac{28}{A}$
$\frac{28}{40} = \frac{28}{A}$
A = 40
в) $\frac{3}{8} = -\frac{A}{32}$
$\frac{3 * 4}{8 * 4} = -\frac{A}{32}$
$\frac{12}{32} = -\frac{A}{32}$
$-\frac{-12}{32} = -\frac{A}{32}$
A = −12
г) $-\frac{1}{5} = \frac{15}{A}$
$-\frac{1 * 15}{5 * 15} = \frac{15}{A}$
$-\frac{15}{75} = \frac{15}{A}$
$\frac{15}{-75} = \frac{15}{A}$
A = −75
д) $\frac{5}{a} = \frac{A}{ab}$
$\frac{5b}{ab} = \frac{A}{ab}$
A = 5b
е) $\frac{6x}{y} = \frac{A}{6xy^2}$
$\frac{6xy * 6x}{6xy * y} = \frac{A}{6xy^2}$
$\frac{36x^2y}{6xy^2} = \frac{A}{6xy^2}$
$A = 36x^2y$
Задание 511
Подберите целое выражение B так, чтобы равенство было верным:
а) $\frac{1}{2} = \frac{a + b}{B}$;
б) $\frac{x}{3} = \frac{B}{3(x + y)}$;
в) $\frac{a}{3} = \frac{B}{6a + 6}$;
г) $\frac{a - b}{3} = \frac{a^2 - b^2}{B}$;
д) $\frac{x}{a} = \frac{B}{a^2 - a}$;
е) $\frac{m - 1}{m} = \frac{m^3 - 1}{B}$.
Решение
а) $\frac{1}{2} = \frac{a + b}{B}$
$\frac{a + b}{2(a + b)} = \frac{a + b}{B}$
B = 2(a + b)
б) $\frac{x}{3} = \frac{B}{3(x + y)}$
$\frac{x(x + y)}{3(x + y)} = \frac{B}{3(x + y)}$
B = x(x + y)
в) $\frac{a}{3} = \frac{B}{6a + 6}$
$\frac{a}{3} = \frac{B}{3(2a + 2)}$
$\frac{a(2a + 2)}{3(2a + 2)} = \frac{B}{3(2a + 2)}$
B = a(2a + 2)
г) $\frac{a - b}{3} = \frac{a^2 - b^2}{B}$
$\frac{a - b}{3} = \frac{(a - b)(a + b)}{B}$
$\frac{(a - b)(a + b)}{3(a + b)} = \frac{(a - b)(a + b)}{B}$
B = 3(a + b)
д) $\frac{x}{a} = \frac{B}{a^2 - a}$
$\frac{x}{a} = \frac{B}{a(a - 1)}$
$\frac{x(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{B}{a(a - 1)}$
B = x(a − 1)
е) $\frac{m - 1}{m} = \frac{m^3 - 1}{B}$
$\frac{m - 1}{m} = \frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{B}$
$\frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{m(m^2 + m + 1)} = \frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{B}$
$B = m(m^2 + m + 1)$
Задание 512
Запишите выражение в виде дроби:
а) $a + \frac{a}{2}$;
б) $x - \frac{x}{3}$;
в) $\frac{x}{7} - 2x$;
г) $2 + \frac{a}{3}$;
д) $1 + \frac{1}{a}$;
е) $\frac{1}{b} - a$.
Решение
а) $a + \frac{a}{2} = \frac{2a + a}{2} = \frac{3a}{2}$
б) $x - \frac{x}{3} = \frac{3x - x}{3} = \frac{2x}{3}$
в) $\frac{x}{7} - 2x = \frac{x - 14x}{7} = \frac{-13x}{7} = -\frac{13x}{7}$
г) $2 + \frac{a}{3} = \frac{6 + a}{3}$
д) $1 + \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}$
е) $\frac{1}{b} - a = \frac{1 - ab}{b}$
Задание 513
Преобразуйте в алгебраическую дробь:
а) $\frac{a}{3} + \frac{b}{2}$;
б) $\frac{x}{4} - \frac{y}{2}$;
в) $\frac{2m}{3} - \frac{4}{5}$;
г) $\frac{4m}{3} + \frac{2n}{5}$;
д) $\frac{3p}{4} + \frac{2p}{3}$;
е) $\frac{a^2}{4} - \frac{2a}{3}$;
ж) $\frac{7x^2}{3} + \frac{13x^2}{5}$;
з) $\frac{6xy}{7} - \frac{5xy^2}{9}$.
Решение
а) $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = \frac{2a + 3b}{6}$
б) $\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = \frac{x - 2y}{4}$
в) $\frac{2m}{3} - \frac{4}{5} = \frac{10m - 12}{15}$
г) $\frac{4m}{3} + \frac{2n}{5} = \frac{20m + 6n}{15}$
д) $\frac{3p}{4} + \frac{2p}{3} = \frac{9p + 8p}{12} = \frac{17p}{12}$
е) $\frac{a^2}{4} - \frac{2a}{3} = \frac{3a^2 - 8a}{12}$
ж) $\frac{7x^2}{3} + \frac{13x^2}{5} = \frac{35x^2 + 39x^2}{15} = \frac{74x^2}{15}$
з) $\frac{6xy}{7} - \frac{5xy^2}{9} = \frac{54xy - 35xy^2}{63}$
Задание 514
Преобразуйте в алгебраическую дробь:
а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$;
б) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y}$;
в) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$;
г) $\frac{5a}{7} - \frac{b}{x}$;
д) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3}$;
е) $\frac{1}{a} - \frac{1}{bc}$.
Решение
а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$
б) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = \frac{2y - 3x}{xy}$
в) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{bx + ay}{ab}$
г) $\frac{5a}{7} - \frac{b}{x} = \frac{5ax - 7b}{7x}$
д) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2a}{6a}$
е) $\frac{1}{a} - \frac{1}{bc} = \frac{bc - a}{abc}$
