Задание № 962

Из пунктов A и B одновременно вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после своего выхода, а через 32 мин после встречи первый пришел в B. Через сколько минут после своего выхода из B второй пришел в A?

Решение

Весь путь равен 1, тогда:
1) 40 + 32 = 72 (мин) − был в пути первый пешеход;
2) $1:72=\frac1{72}$ (пути) − проходит первый пешеход за 1 час;
3) $1:40=\frac1{40}$ (пути) − проходят пешеходы вместе за 1 час;
4) $\frac1{40}-\frac1{72}=\frac{9-5}{360}=\frac4{360}=\frac1{90}$ (пути) − проходит второй пешеход за 1 минуту;
5) $1:\frac1{90}=1\ast90=90$ (мин) − время, через которое второй пешеход пришел в A после выхода из B.
Ответ: через 90 минут.

Задание № 963

Из пункта A в пункт B выехала грузовая машина. Одновременно с ней из пункта B в A выехала легковая машина. Грузовая машина через 2 ч после начала движения встретила легковую и еще через 3 ч прибыла в пункт B. Сколько времени потратила легковая машина на путь из B в A?

Решение

Весь путь равен 1, тогда:
1) 2 + 3 = 5 (часов) − была в пути грузовая машина;
2) $1:5=\frac15$ (пути) − проезжает грузовая машина за 1 час;
3) $1:2=\frac12$ (пути) − проезжают обе машины за 1 час;
4) $\frac12-\frac15=\frac{5-2}{10}=\frac3{10}$ (пути) − проезжает легковая машина за 1 час;
5) $1:\frac3{10}=1\ast10=\frac{10}3$ (часа) = 3 ч 20 минут − время, через которое легковая машина приехала в A после выхода из B.
$\frac{10}3=\frac33+\frac33+\frac33+\frac13=3{\operatorname ч}+\frac{20}{60}{\operatorname ч}$ = 3 ч 20 мин
Ответ: 3 ч 20 минут.

Задание № 964

а) Лошадь съедает воз сена за месяц, коза − за два месяца, овца − за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
б) Первый плотник может построить дом за год, второй − за два года, третий − за три года, четвертый − за четыре года. За сколько лет они построят дом при совместной работе?

Решение

а) Весь воз сена равен 1, тогда:
1) 1 : 1 = 1 (воза) − съедает лошадь за 1 месяц;
2) $1:2=\frac12$ (воза) − съедает коза за 1 месяц;
3) $1:3=\frac13$ (воза) − съедает овца за 1 месяц;
4) $1+\frac12+\frac13=\frac{6+3+2}6=\frac{11}6$ (воза) − съедают животные вместе за 1 месяц;
5) $1:\frac{11}6=1\ast\frac6{11}=\frac6{11}$ (месяца) − время, за которое лошадь, коза и овца вместе съедят воз сена.
Ответ: 6/11 месяца.

б) Вся работа равна 1, тогда:
1) 1 : 1 = 1 (работы) − выполняет первый плотник за год;
2) $1:2=\frac12$ (работы) − выполняет второй плотник за год;
3) $1:3=\frac13$ (работы) − выполняет третий плотник за год;
4) $1:4=\frac14$ (работы) − выполняет четвертый плотник за год;
5) $1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{12+6+4+3}{12}=\frac{25}{12}$ (работы) − выполняют все плотники вместе за год;
6) $1:\frac{25}{12}=1\ast\frac{12}{25}=\frac{12}{25}$ (года) − строят дом все плотники вместе.
Ответ: 12/25 года.

Задание № 965

Каким натуральным числом можно заменить букву a в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.
Первая бригада может выполнить задание за 40 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за a ч. За сколько часов эти бригады выполнят задания при совместной работе?

Решение

Все задание равно 1, тогда:
1) $1:40=\frac1{40}$ (задания) − выполняет первая бригада за 1 час;
2) $1:a=\frac1a$ (задания) − выполняет вторая бригада за 1 час;
3) $\frac1{40}+\frac1a=\frac{a+40}{40a}$ (задания) − выполняют обе бригады за час;
4) $1:\frac{a+40}{40a}=1\ast\frac{40a}{a+40}$ (ч) − время выполнения задания двумя бригадами.
Теперь необходимо подобрать такие значения a, при которых число $\frac{40a}{a+40}$ было бы натуральным. Чтобы это число было натуральным, число 40a должно делиться на число a + 40 без остатка.
при a = 10:
$\frac{40a}{a+40}=\frac{40\ast10}{10+40}=\frac{400}{50}=8$

при a = 40:
$\frac{40a}{a+40}=\frac{40\ast40}{40+40}=\frac{1600}{80}=20$

при a = 60:
$\frac{40a}{a+40}=\frac{40\ast60}{60+40}=\frac{2400}{100}=24$

Ответ: букву a в условии задачи можно заменить числами: 8, 20, 24.