Задание №932
Постройте график уравнения:
1) ( x + 2 )2 + y2 = 0;
2) | x | + ( y − 3 )2 = 0;
3) xy = 0;
4) (x + 1)(y − 1) = 0;
5) xy − 2y = 0.
Решение:
1) ( x + 2 )2 + y2 = 0
x + 2 = 0
x = −2;
y2 = 0
y = 0, следовательно графиком данного уравнения является точка с координатами (−2;0).
2) | x | + ( y − 3 )2 = 0
|x| = 0
x = 0;
y − 3 = 0
y = 3, следовательно графиком данного уравнения является точка с координатами (0;3).
3) xy = 0
x = 0 или y = 0, следовательно графиком данного уравнения является две прямые, одна из которых совпадает с осью абсцисс, а другая с осью ординат.
4) (x + 1)(y − 1) = 0
x + 1 = 0
x = −1;
или
y − 1 = 0
y = 1, следовательно графиком данного уравнения является две прямые, одна из которых параллельна оси абсцисс, а другая оси ординат.
5) xy − 2y = 0
y(x − 2) = 0
y = 0;
или
x − 2 = 0
x = 2, следовательно графиком данного уравнения является две прямые, одна из которых параллельна оси ординат, а другая совпадает с осью абсцисс.
Задание №933
Постройте график уравнения:
1) |x − 4| + |y − 4| = 0;
2) (x − 4)(y − 4) = 0;
3) xy + x = 0.
Решение:
1) |x − 4| + |y − 4| = 0
x − 4 = 0
x = 4;
y − 4 = 0
y = 4, следовательно графиком данного уравнения является точка с координатами (4;4).
2) (x − 4)(y − 4) = 0
x − 4 = 0
x = 4
или
y − 4 = 0
y = 4, следовательно графиком данного уравнения является две прямые, одна из которых параллельна оси абсцисс, а другая оси ординат.
3) xy + x = 0
x(y + 1) = 0
x = 0;
или
y + 1 = 0
y = −1, следовательно графиком данного уравнения является две прямые, одна из которых параллельна оси абсцисс, а другая совпадает с осью ординат.
Задание №934
Найдите все пары (x;y) натуральных чисел, являющиеся решениями уравнения:
1) 2x + 3y = 5;
2) x + 5y = 16.
Решение:
1) 2x + 3y = 5
x = 1;
y = 1, следовательно уравнение имеет одно решение (1;1).
2) x + 5y = 16
x = 11, y = 1;
x = 6, y = 2;
x = 1, y = 3, следовательно уравнение имеет три решения (11;1); (6;2) и (1;3).
Задание №935
Найдите все пары (x;y) целых чисел, являющиеся решениями уравнения |x| + |y| = 2.
Решение:
|x| + |y| = 2
x = 2, y = 0;
x = −2, y = 0;
x = 0, y = 2;
x = 0, y = −2;
x = 1, y = 1;
x = −1, y = −1;
x = −1, y = 1;
x = 1, y = −1, следовательно уравнение имеет 8 решений:
(2;0); (−2;0); (0;2); (0;−2); (1;1); (−1;−1); (−1;1); (1;−1).
Задание №936
Найдите все пары (x;y) целых чисел, являющиеся решениями уравнения
x2 + y2 = 5.
Решение:
x2 + y2 = 5
x = 1, y = 2;
x = 1, y = −2;
x = −1, y = 2;
x = −1, y = −2;
x = 2, y = 1;
x = −2, y = 1;
x = 2, y = −1;
x = −2, y = −1, следовательно уравнение имеет 8 решений:
(1;2); (1;−2); (−1;2); (−1;−2); (2;1); (−2;1); (2;−1); (−2;−1).
Задание №937
Кате надо заплатить за брошюру 29 р. У нее есть только монеты по 2 р. и по 5 р. Сколькими способами она может рассчитаться за покупку, не получая сдачи?
Решение:
Пусть x количество монет по 2р., а y − количество монет по 5р, тогда:
2x + 5y = 29
2x = 29 − 5y
$x=\frac{29-5y}2$
Так как, количество монет натуральное число, то значение выражения 29 − 5y должно быть четным числом, а оно будет таким если 5y будет нечетным числом и меньше 29, тогда y должен быть так же нечетным числом.
Отсюда:
при y = 1:
$x=\frac{29-5\ast1}2=\frac{24}2=12$;
при y = 3:
$x=\frac{29-5\ast3}2=\frac{29-15}2=\frac{14}2=7$;
при y = 5:
$x=\frac{29-5\ast5}2=\frac{29-25}2=\frac42=2$,
следовательно, тремя способами может рассчитаться за покупку Катя, не получая сдачи:
1) 12 монет по 2 рубля + 1 монета по 5 рублей;
2) 7 монет по 2 рубля + 3 монеты по 5 рублей;
3) 2 монеты по 2 рубля + 5 монет по 5 рублей.
Задание №938
Ученикам 7 класса на математическом конкурсе предложили решить задачи по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решенную задачу по алгебре начислялось 2 балла, а за задачу по геометрии − 3 балла. Максимальное количество набранных баллов могло составить 24. Сколько было предложено задач отдельно по алгебре и по геометрии, если по каждому из этих предметов была хотя бы одна задача?
Найдите все возможные ответы.
Решение:
Пусть x количество решенных задач по алгебре, а y − количество решенных задач по геометрии, тогда:
2x + 3y = 24
2x = 24 − 3y
$x=\frac{24-3y}2$
Так как, количество монет натуральное число, то значение выражения 24 − 3y должно быть четным числом, а оно будет таким если 3y будет четным числом и меньше 24, следовательно y должен быть так четным числом.
Отсюда:
при y = 2:
$x=\frac{24-3y}2=\frac{24-3\ast2}2=\frac{24-6}2=\frac{18}2=9$;
при y = 4:
$x=\frac{24-3y}2=\frac{24-3\ast4}2=\frac{24-12}2=\frac{12}2=6$;
при y = 6:
$x=\frac{24-3y}2=\frac{24-3\ast6}2=\frac{24-18}2=\frac62=3$,
следовательно, задачи могли быть предложены тремя способами:
1) 9 задач по алгебре + 2 задачи по геометрии;
2) 6 задач по алгебре + 4 задачи по геометрии;
3) 3 задачи по алгебре + 6 задач по геометрии.
Задание №939
Решите уравнение:
1) x2 + y2 + 4 = 4 y;
2) x2 + y2 + 2 x − 6 y + 10 = 0;
3) x2 + y2 + x + y + 0, 5 = 0;
4) 9 x2 + y2 + 2 = 6 x.
Решение:
1) x2 + y2 + 4 = 4 y
x2 + y2 + 4 − 4 y = 0
x2 + ( y2 − 4 y + 4 ) = 0
x2 + ( y − 2 )2 = 0
x = 0;
y − 2 = 0
y = 2;
(0;2).
2) x2 + y2 + 2 x − 6 y + 10 = 0
x2 + y2 + 2 x − 6 y + 9 + 1 = 0
( x2 + 2 x + 1 ) + ( y2 − 6 y + 9 ) = 0
( x + 1 )2 + ( y − 3 )2 = 0
x + 1 = 0
x = −1;
y − 3 = 0
y = 3;
(−1;3).
3) x2 + y2 + x + y + 0, 5 = 0
x2 + y2 + x + y + 0, 25 + 0, 25 = 0
( x2 + x + 0, 25 ) + ( y2 + y + 0, 25 ) = 0
( x + 0, 5 )2 + ( y + 0, 5 )2 = 0
x + 0,5 = 0
x = −0,5;
y + 0,5 = 0
y = −0,5;
(0,5;0,5).
4) 9 x2 + y2 + 2 = 6 x
9 x2 + y2 − 6 x + 1 + 1 = 0
( 9 x2 − 6 x + 1 ) + y2 + 1 = 0
( 3 x − 1 )2 + y2 = − 1, уравнение не имеет решений, так как сумма двух квадратов не может быть отрицательной.
Задание №940
Решите уравнение:
1) x2 + 10 y + 30 = 10 x − y2 − 20;
2) 4 x2 + y2 + 4 x = 2 y − 3.
Решение:
1) x2 + 10 y + 30 = 10 x − y2 − 20
x2 + 10 y + 30 − 10 x + y2 + 20 = 0
x2 + 10 y − 10 x + y2 + 50 = 0
x2 + 10 y − 10 x + y2 + 25 + 25 = 0
( x2 − 10 x + 25 ) + ( y2 + 10 y + 25 ) = 0
( x − 5 )2 + ( y + 5 )2 = 0
x − 5 = 0
x = 5;
y + 5 = 0
y = −5;
(5;−5).
2) 4 x2 + y2 + 4 x = 2 y − 3
4 x2 + y2 + 4 x − 2 y + 3 = 0
4 x2 + y2 + 4 x − 2 y + 1 + 1 + 1 = 0
( 4 x2 + 4 x + 1 ) + ( y2 − 2 y + 1 ) + 1 = 0
( 2 x + 1 )2 + ( y − 1 )2 = − 1,
уравнение не имеет решений, так как сумма двух квадратов не может быть отрицательной.
Задание №941
Графиком уравнения
( x2 + y2 + y )2 = x2 + y2 является кривая, которую называют кардиоидой (рис.51). Найдите координаты ее точек пересечения с осями координат.
Решение:
( x2 + y2 + y )2 = x2 + y2
при y = 0:
( x2 + 0 2 + 0 )2 = x2 + 02
( x2 )2 = x2
( x2 )2 − x2 = 0
x2 ( x2 − 1 ) = 0
x2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0
x1 = 0;
x − 1 = 0
x2 = 1;
x + 1 = 0
x3 = − 1,
следовательно, график уравнения пересекает ось абсцисс в точках (0;0); (1;0); (−1;0).
при x = 0:
( 02 + y2 + y )2 = 02 + y2
( y2 + y )2 = y2
y4 + 2 y3 + y2 − y2 = 0
y4 + 2 y3 = 0
y3 ( y + 2 ) = 0
y1 = 0;
y + 2 = 0
y2 = − 2,
следовательно, график уравнения пересекает ось ординат в точках (0;0); (0;−2).
Задание №942
Графиком уравнения
x2/25 + y2/16 = 1 является кривая, которую называют эллипсом (рис.52). Найдите координаты ее точек пересечения с осями координат.
Решение:
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
при y = 0:
$\frac{x^2}{25}+\frac{0^2}{16}=1$
$\frac{x^2}{25}=1$
x2 = 25
x1 = 5;
x2 = − 5,
следовательно, график уравнения пересекает ось абсцисс в точках (5;0); (−5;0).
при x = 0:
$\frac{0^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
$\frac{y^2}{16}=1$
y2 = 16
y1 = 4;
y2 = − 4,
следовательно, график уравнения пересекает ось ординат в точках (0;4); (0;−4).
