Задание 206

Замените звездочку такой степенью с основанием a, чтобы выполнялось равенство:
1) a$^6$ × ∗ = a$^{14}$;
2) ∗ × a$^6$ = a$^7$;
3) a$^{10}$ × ∗ × a$^2$ = a$^{18}$.

Решение

1) 14 − 6 = 8, следовательно:
a$^6$ × a$^8$ = a$^{14}$

2) 7 − 6 = 1, следовательно:
a × a$^6$ = a$^7$

3) 18 − 10 − 2 = 6, следовательно:
a$^{140}$ × a$^6$ × a$^2$ = a$^{18}$

Задание 207

Представьте выражение a$^{12}$ в виде произведения двух степеней с основаниями a, одна из которых равна:
1) a$^6$;
2) a$^4$;
3) a$^3$;
4) a$^5$;
5) a.

Решение

1) $a^{12}=a^6\ast a^6$

2) $a^{12}=a^4\ast a^8$

3) $a^{12}=a^3\ast a^9$

4) $a^{12}=a^5\ast a^7$

5) $a^{12}=a\ast a^{11}$

Задание 208

Представьте в виде степени частное:
1) a$^{12}$ : a$^3$;
2) b$^6$ : b;
3) c$^7$ : c$^6$;
4) (a + b)$^8$ : (a + b)$^4$.

Решение

1) $a^{12}:a^3=a^{12-3}=a^9$

2) $b^6:b=b^{6-1}=b^5$

3) $c^7:c^6=c^{7-6}=c$

4) $(a+b)^8:(a+b)^4=(a+b)^{8-4}=(a+b)^4$

Задание 209

Найдите значение выражения:

1) $7^7:7^5=7^{7-5}=7^2=49$

2) $10^{18}:10^{14}=10^{18-14}=10^4=10000$

3) $0,6^9:0,6^6=0,6^{9-6}=0,6^3=0,216$

4) $(-1\frac18)^5:(-1\frac18)^3=(-\frac98)^{5-3}=(-\frac98)^2=\frac{81}{64}=1\frac{17}{64}$

Задание 210

Выполните деление:

1) $m^{10}:m^2=m^{10-2}=m^8$

2) $x^5:x^4=x^{5-4}=x$

3) $y^{18}:y^6=y^{18-6}=y^{12}$

Задание 211

Представьте в виде степени с основанием m выражение:

1) $(m^5)^3=m^{5\ast3}=m^{15}$

2) $(m^3)^4=m^{3\ast4}=m^{12}$

3) $((m^2)^4)^6=m^{2\ast4\ast6}=m^{48}$

4) $(m^7)^2\ast(m^4)^9=m^{7\ast2+4\ast9}=m^{14+36}=m^{50}$

Задание 212

Представьте в виде степени с основанием n выражение:

1) $(n^2)^8=n^{2\ast8}=n^{16}$

2) $(n^9)^5=n^{9\ast5}=n^{45}$

3) $((n^3)^2)^10=n^{3\ast2\ast10}=n^{60}$

4) $(n^12)^4\ast(n^21)^2=n^{12\ast4+21\ast2}=n^{48+42}=n^{90}$

Задание 213

Представьте степень в виде произведения степеней:

1) $(ab)^6=a^6\ast b^6$

2) $(mnp)^5=m^5\ast n^5\ast p^5$

3) $(3c)^7=3^7\ast c^7$

4) $(-8xy)^3=(-8)^3\ast x^3\ast y^3$

5) $(-0,2cd)^4=(-0,2)^4\ast c^4\ast d^4$

6) $(\frac37kt)^9=(\frac37)^9\ast k^9\ast t^9$

Задание 214

Представьте степень в виде произведения степеней:

1) $(ax)^2=a^2\ast x^2$

2) $(xyz)^{12}=x^{12}\ast y^{12}\ast z^{12}$

3) $(7m)^8=7^8\ast m^8$

4) $(-0,3bc)^{11}=(-0,3)^{11}\ast b^{11}\ast c^{11}$

Задание 215

Упростите выражение:

1) $-x\ast x^2=-1\ast x\ast x^2=-1\ast x^3=-x^3$

2) $(-x)^2\ast x=(-1\ast x)^2\ast x=(-1)^2\ast x^2\ast x=1\ast x^3=x^3$

3) $-x\ast(-x)^2=-1\ast x\ast(-1\ast x)^2=-1\ast x\ast(-1)^2\ast x^2=-1\ast1\ast x^3=-x^3$

4) $(-x)\ast(-x)^2\ast(-x)=(-1\ast x)\ast(-1\ast x)^2\ast(-1\ast x)=(-1)\ast x\ast(-1)^2\ast x^2\ast(-1)\ast x=(-1)^4\ast x^4=1\ast x^4=x^4$

Задание 216

Упростите выражение:

1) $(-a)^2\ast a^3=(-1\ast a)^2\ast a^3=(-1)^2\ast a^2\ast a^3=1\ast a^2\ast a^3=a^{2+3}=a^5$

2) $-a^2\ast a^3=-1\ast a^2\ast a^3=-1\ast a^{2+3}=-1\ast a^5=-a^5$

3) $a^2\ast(-a)^3=a^2\ast(-1\ast a)^3=a^2\ast(-1)^3\ast a^3=-1\ast a^{2+3}=-1\ast a^5=-a^5$

4) $-a^2\ast(-a)^3=-1\ast a^2\ast(-1\ast a)^3=-1\ast a^2\ast(-1)^3\ast a^3=-1\ast-1\ast a^{2+3}=1\ast a^5=a^5$

Задание 217

Упростите выражение:

1) $(-a^5)^2=(-1\ast a^5)^2=(-1)^2\ast a^{5\ast2}=1\ast a^{10}=a^{10}$

2) $(-a^3)^3=(-1\ast a^3)^3=(-1)^3\ast a^{3\ast3}=-1\ast a^9$

3) $(-a^4)^7\ast(-a^2)^6=(-1\ast a^4)^7\ast(-1\ast a^2)^6=(-1)^7\ast a^{4\ast7}\ast(-1)^6\ast a^{2\ast6}=-1\ast1\ast a^{28}\ast a^{12}=-a^{28+12}=-a^{40}$

Задание 218

Упростите выражение:

1) $((-a^6)^5)^9=((-1\ast a^6)^5)^9=(-1)^{5\ast9}\ast a^{6\ast5\ast9}=(-1)^{45}\ast a^{270}=-1\ast a^{270}=-a^{270}$

2) $((-a^{11})^2)^3=((-1\ast a^{11})^2)^3=(-1)^{2\ast3}\ast a^{11\ast2\ast3}=(-1)^6\ast a^{66}=1\ast a^{66}=a^{66}$

Задание 219

Представьте в виде степени выражение:

1) $a^3b^3=(ab)^3$

2) $-m^7=-1^7\ast m^7=(-m^7)$

3) $9m^2n^2=3^2\ast m^2\ast n^2=(3mn)^2$

4) $64x^3y^3=4^3\ast x^3\ast y^3=(4xy)^3$

5) $-\frac{27}{343}{\operatorname с}^3d^3=(-\frac37)^3\ast{\operatorname с}^3\ast d^3$

6) $0,00001k^4p^4=0,1^4\ast k^4\ast p^4=(0,1kp)^4$

Задание 220

Представьте в виде степени выражение:

1) $x^{12}y^{12}=(xy)^{12}$

2) $-125m^3n^3=(5)^3\ast m^3\ast n^3=(5mn)^3$

3) $32p^5q^5=2^5\ast p^5\ast q^5=(2pq)^5$

4) $1000000000a^9b^9c^9=10^9\ast b^9\ast c^9$