Кратко пробежимся по теории.

Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остаётся неизменным.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Отношение – это частное двух чисел. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого.

Основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Задачи на пропорции из учебников

Основная сложность в задачах такого типа - составить пропорцию и определить, прямо или обратно пропорциональны величины.

В шестом классе условие задач на пропорции записывают таблицей, а пропорциональность обозначают стрелкам в одном либо противоположных направлениях.

Решите с помощью пропорции задачи:

1) Для изготовления 8 одинаковых приборов необходимо 18 кг металла. Сколько таких приборов можно изготовить из 27 кг металла?

Пусть из 27 кг металла возможно изготовить x приборов.
К-во приборов   Масса металла
   ↓  8                       18 кг ↓
      х                        27 кг
$\frac8x=\frac{18}{27}$
18x = 8 * 27
$x=\frac{8\ast27}{18}$
$x=\frac{4\ast3}1$
x = 12
Значит, 12 приборов можно изготовить из 27 кг металла
Ответ: 12 приборов.

2) За 5 ч турист прошел 24 км. Какое расстояние он пройдет за 8 ч с той же скоростью?

Пусть x км пройдет турист за 8 ч.
Время    Путь
↓ 5 ч       24 км ↓
   8 ч       х км
$\frac58=\frac{24}x$
5x = 8 * 24
$x=\frac{8\ast24}5$
$x=\frac{192}5$
$x=38\frac25=38,4$
Значит, 38,4 км пройдет турист за 8 ч с той же скоростью
Ответ: 38,4 км.

3) Из 140 кг свежих вишен получают 21 кг сушеных. Сколько килограммов сушеных вишен получится из 160 кг свежих? Сколько килограммов свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сушеных?

Пусть из 160 кг свежих вишен возможно получить x кг сухих вишен.
Масса свеж.   Масса сух
↓ 140 кг              21 кг ↓
   160 кг               х кг
$\frac{21}x=\frac{140}{160}$
140x = 160 * 21
$x=\frac{160\ast21}{140}$
$x=\frac{8\ast3}1$
x = 24 
Значит, 24 кг  сушеных вишен получится из 160 кг свежих

Пусть из x кг свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сухих вишен.

$\frac{21}{31,5}=\frac{140}x$
21x = 31,5 * 140
$x=\frac{31,5\ast140}{21}$
$x=\frac{1,5\ast140}1$
x = 210
Значит, 210 кг свежих вишен необходимо взять, чтобы получить 31,5 кг сухих вишен
Ответ: 24 кг; 210 кг.

4) Объем бруска, изготовленного из древесины вишни, равен 800 см3, а его масса − 528 г. Какова масса бруска, изготовленного из этого же материала, если его объем равен 1500 см3?

Пусть x г масса бруска, если его объем равен 1500 см3.

$\frac{800}{1500}=\frac{528}x$
800x = 1500 * 528
$x=\frac{1500\ast528}{800}$
$x=\frac{15\ast66}1$
x = 990
Значит, 990 г масса бруска, если его объем равен 1500 см3.
Ответ: 990 г .

5) Из 45 т железной руды выплавляют 25 т железа. Сколько требуется тонн руды, чтобы выплавить 10 т железа?

Пусть x т руды требуется, чтобы выплавить 10 т железа.

$\frac{45}x=\frac{25}{10}$
25x = 45 * 10
$x=\frac{45\ast10}{25}$
$x=\frac{9\ast2}1$
x = 18
Значит, 18 т руды требуется, чтобы выплавить 10 т железа.
Ответ: 18 т руды.

6) Площадь поля 480 га. Пшеницей засеяли 24% площади поля. Сколько гектаров земли засеяли пшеницей?

Пусть x га земли засеяли пшеницей.

$\frac{480}x=\frac{100}{24}$
100x = 480 * 24
$x=\frac{480\ast24}{100}$
$x=\frac{96\ast6}5$
$x=\frac{576}5=115\frac15=115,2$
Значит, 115,2 га земли засеяли пшеницей.
Ответ: 115,2 га земли.

7) За первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14% всего пути. Сколько километров составляет весь путь?

Пусть x км составляет весь путь.

$\frac{70}x=\frac{14}{100}$
14x = 70 * 100
$x=\frac{70\ast100}{14}$
$x=\frac{5\ast100}1$
x = 500
Значит,  500 км составляет весь путь.
Ответ: 500 км.

8) Сплав содержит 12% цинка. Сколько килограммов цинка содержится в 80 кг сплава?

8) Пусть x кг цинка содержится в 80 кг сплава.

$\frac{80}x=\frac{100}{12}$
100x = 80 * 12
$x=\frac{80\ast12}{100}$
$x=\frac{4\ast12}5$
$x=\frac{48}5=\frac{96}{10}=9,6$ 
Значит, 9,6 кг цинка содержится в 80 кг сплава
Ответ: 9,6 кг цинка.

9) На пошив 14 одинаковых костюмов израсходовали 49 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 84 м ткани?

Пусть x костюмов можно сшить из 84 м ткани.

$\frac{14}x=\frac{49}{84}$
4x = 14 * 84
$x=\frac{14\ast84}{49}$
$x=\frac{2\ast12}1$
x = 24 
Значит, 24 костюма можно сшить из 84 м ткани.
Ответ: 24 костюма.

10) За 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальется 288 л воды?

Пусть за x часов в бассейн нальется 288 л воды.

$\frac7x=\frac{224}{288}$
224x = 7 * 288
$x=\frac{7\ast288}{224}$
$x=\frac{1\ast72}8$
x = 9
Значит, 9 часов в бассейн будет наливаться 288 л воды.
Ответ: 9 часов.

11) Из 150 кг картофеля получают 27 кг крахмала. Сколько килограммов крахмала получат из 420 кг картофеля? Сколько килограммов картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала?

Пусть x кг крахмала получат из 420 кг картофеля.

$\frac{27}x=\frac{150}{420}$
150x = 27 * 420
$x=\frac{27\ast420}{150}$
$x=\frac{27\ast14}5$
$x=\frac{378}5$
$x=\frac{756}{10}=75,6$ 
Значит, 75,6 кг крахмала получат из 420 кг картофеля.
Ответ: 75,6 кг крахмала.

Пусть x кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.

$\frac{27}{30,6}=\frac{150}x$
27x = 30,6 * 150
$x=\frac{30,6\ast150}{27}$
$x=\frac{3,4\ast50}1$
x = 170 
Значит, 170 кг картофеля необходимо, чтобы получить 30,6 кг крахмала.
Ответ: 170 кг картофеля.

12) В саду растет 320 деревьев, из которых 40% составляют яблони. Сколько яблонь растет в саду?

Пусть x яблонь растет в саду.
К-во деревьев   Проценты
  320 д                   100 %
    х    д                   40 %
$\frac{320}x=\frac{100}{40}$
100x = 320 * 40
$x=\frac{320\ast40}{100}$
$x=\frac{32\ast4}1$
x = 128
Значит, 128 яблонь растет в саду
Ответ: 128 яблонь. 

13) Масса соли составляет 24% массы раствора. Сколько килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли?

Пусть x килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.


$\frac{100}{24}=\frac x{96}$
24x = 100 * 96
$x=\frac{100\ast96}{24}$
$x=\frac{100\ast4}1$
x = 400
Значит, 400 килограммов раствора необходимо взять, чтобы он содержал 96 кг соли.
Ответ: 400 кг.

14) На изготовление 3,5 кг ржаного хлеба требуется 2,5 кг муки. Сколько хлеба можно испечь из 17,5 т ржаной муки?

Пусть х кг хлеба можно испечь из 17,5 т муки.
17,5 т = 17500 кг
Масса хлеба   Масса муки
↓ 3,5 кг                 2,5 кг    ↓
   х кг                  17500 кг
3,5 кг − 2,5 кг
x кг − 17500 кг
$\frac{3,5}{2,5}=\frac х{17500}$
$х=\frac{3,5\ast17500}{2,5}$   умножим по 1 числу в числ. и знам. на 10
$х=\frac{35\ast17500}{25}$
x = 24500
Значит, 24500 кг = 24,5 т хлеба можно испечь из 17,5 т ржаной муки.
Ответ: 24,5 т

В задачах выше зависимость между величинами была прямо пропорциональная, но бывают задачи и с обратно пропорциональной зависимостью.

1) Самолет со скоростью 200 км/ч преодолевает расстояние от Москвы до Тюмени за 2 часа, за сколько он преодолеет это же расстояние со скоростью 150 км/ч?

Пусть за х часов самолет преодолеет то же расстояние со скоростью 150 км/ч
Скорость     Время
↑ 200 км/ч      2 ч ↓
  150 км/ч      х ч
Зависимость обратно пропорциональная, исходя из этого составляем пропорцию:
$\frac{200}{150}=\frac х2$
150 х = 200 * 2
$х=\frac{200\ast2}{150}$
$х=2\frac23$
Значит,  за $2\frac23$ часа он преодолеет это же расстояние со скоростью 150 км/ч.
Ответ: за $2\frac23$ часа.

2) Три трактора вспахали поле за 7 часов. Сколько нужно тракторов, чтобы вспахать такое же поле за 5 часов?

Пусть нужно х тракторов, чтобы вспахать поле за 5 часов.
К-во тракторов   Время
 ↓3                          7 ч ↑
   х                          5 ч
$\frac3х=\frac57$
5 х = 3 * 7
х = 4,2
Так как количество тракторов не может быть дробным числом, округлим до большей величины.
х ≈ 5
Значит, 5 тракторов нужно, чтобы вспахать такое же поле за 5 часов.
Ответ: 5 тракторов.

3)  Для покрытия пола требуется 45 м линолеума шириной 2,2 м. Сколько потребуется линолеума шириной 1,5 м для покрытия пола той же площади?

Пусть х м линолеума шириной 1,5 м потребуется для покрытия пола той же площади.
Длина лин.   Ширина лин.
↓ 45 м                2,2 м ↑
  x м                  1,5 м
$\frac{45}х=\frac{1,5}{2,2}$
$\frac{45}х=\frac{15}{22}$
15 х = 22 * 45
$х=\frac{22\ast45}{15}$
x = 66
Значит, 66 м линолеума шириной 1,5 м потребуется для покрытия пола той же площади..
Ответ: 66 метров.

Нестандартные задачи на пропорции

Задача 1. Поп нанял работника Балду на год, обещал ему 120 рублей и красный кафтан. Однако, проработав 7 месяцев, Балда стал просить у попа расчет и получил за работу 50 рублей и красный кафтан. Сколько стоит кафтан у Балды?

Эту задачу можно решить, не прибегая к уравнению и пропорции, однако можно и пропорцией.

Решение

Пусть x – цена кафтана. Тогда за 12 месяцев Балда мог получить 120 руб. и кафтан, т.е. 120 + x. Но за 7 месяцев он получил 50 + x. Запишем в привычном для шестиклассника виде:

 | 12       120 + х |
↓ 7          50 + х  ↓

Записываем пропорцию

$\frac{12}7=\frac{120+х}{50+х}$

Применяя основное свойство пропорции, получаем уравнение:

7 * (120 + х) = 12 * (50 + х)
840 + 7 х = 600 + 12 х
12 х - 7 х = 840 - 600
5 х = 240
х = 48

Ответ: 48 рублей стоил кафтан у Балды.

Гораздо сложнее ученикам даются задачи на пропорциональную зависимость трёх и более величин. Причем настолько, что когда в 7 классе в учебнике геометрии (например, в учебнике Погорелова) встречается задача, где в условии говорится, что углы треугольника пропорциональны числам 2, 3, 4 (т.е. относятся как 2:3:4), некоторые ученики приходят в замешательство и утверждают, что не понимают условие. 

В последнее время задачи на пропорциональное деление стали встречаться в некоторых сборниках по занимательной, нестандартной и олимпиадной математике. Рассмотрим задачу такого плана.

Задача 2 на деление в данном отношении. Три предпринимателя - Давыдов, Петров и Максимов вложили в совместную организацию предприятия по производству мебели деньги. Первый вложил 60 тыс. руб., второй - 90 тыс. руб., а третий - 150 тыс. руб. Они получили прибыль в размере 117 тыс. руб. Сколько денег из прибыли получит каждый из предпринимателей при условии распределения ее пропорционально их вкладам?

Решение.

Найдём, каким числам пропорциональны вклады предпринимателей. Все числа запишем в тыс. руб.
60 : 90 : 150, т.е. 2 : 3 : 5.
Исходя из этого, можно записать, что 2x + 3x + 5x = 117, где 2x - часть прибыли, которую должен получить Давыдов, 3x – часть прибыли, которую должен получить Петров, 5x - часть прибыли, которую должен получить Максимов, исходя из пропорциональности вкладов. Отсюда x = 11,7 тыс. руб., т.е. Давыдов получит 23,4 тыс. руб., Петров – 35,1 тыс. руб., а Максимов – 58,5 тыс. руб.
Задачу можно решить и немного иначе:
1) 60 + 90 + 150 = 300 тыс. руб.
2) 117 : 300 x 60 = 23,4 тыс. руб.
3) 117 : 300 x 90 = 35,1 тыс. руб.
4) 117 : 300 x 150 = 58,5 тыс. руб.
Ответ: 23, 4 тыс. руб., 35,1 тыс., руб., 58,5 тыс. руб.

Классика нестандартных задач на пропорциональность трёх и более величин:

Задача 3. Три курицы за 3 дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

И сразу аналогичная, коих может быть бесконечное множество, а решаются они одинаково:

Задача 4. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько потребуется землекопов, чтобы за 100 часов выкопать 100 м канавы?

Напрашивается ответ 12 в задаче про куриц и 100 в задаче с канавой, но это не верно. В задаче про куриц правильный ответ 48, а в задаче про землекопов правильный ответ – 5.

Если дней в 4 раза больше, а кур также в 4 раза больше, то яиц они снесут 3 х 4 х 4 = 48.

Что касается задачи про землекопов, то решение еще проще. Так как за 5 часов землекопы выкапывают 5 метров канавы, то за 1 час – 1 метр канавы. И значит, за 100 часов 100 м канавы выкопают те же 5 землекопов.

Задача 5. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?

Иногда условия таких задач выписывают примерно также как обычную пропорцию и делают стрелочки. Например:

Роботы   Часы   Компьютеры
| 2             | 3             | 1
↓10          ↓12            ↓ х

Решение.

Если 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер, то сколько компьютеров соберут те же два робота за 12 часов?
12 : 3 = в 4 (раза) - больше будет времени у 2х роботов на сборку компьютеров
Если у двух роботов будет времени в 4 раза больше, то и соберут они в 4 раза больше компьютеров, т.е.
1 * 4 = 4 (компьютера)  - собирают 2 робота за 12 часов.

Если роботов будет 10, то сколько компьютеров они соберут за 12 часов?
10 : 2 = в 5 (раз) - больше роботов
Так как роботов будет в 5 раз больше, то и соберут они за 12 часов в 5 раз больше компьютеров.
4 * 5 = 20 (компьютера)  - соберут 10 роботов за 12 часов.

Ответ: 20 компьютеров.

Задача 6. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

Решение.

60 : 3 =  20 (окон) - может покрасить 1 маляр за 5 дней,
20 : 5  = 4 (окна) - маляр покрасит за 1 день
4 * 4 = 16 (окон) -  он покрасит за 4 дня.
А если таких маляров будет 5, то окон будет покрашено
5 : 16 = 80 (окон) - покрасят 5 маляров за 4 дня
Ответ: 80 окон.

Лишь только тогда, когда ученик приобретает опыт в решении таких задач поэтапно, можно показать ему решение подобной задачи пропорцией.

3 маляра за 5 дней выполнят работу, которую можно измерить как 3 х 5 человеко-дней. Можно пояснить, что человеко-дни – единица, с помощью которой учитывается рабочее время на производстве. И по условию эта работа выражается в 60-ти окнах. В задаче требуется узнать, чему равна работа, которая измеряется как 4 х 5 человеко-дней.
Значит, можно составить пропорцию:

К-во окон   К-во человеко-дней
60 окон        3*5 человеко-дней
х окон          4*5 человеко-дней

$\frac{60}х=\frac{3\ast5}{4\ast5}$

$х=\frac{4\ast5\ast60}{3\ast5}=80$ (окон) -  покрасят 5 маляров за 4 дня

Ответ: 80 окон.

Однако надо быть внимательным. В некоторых задачах имеет место быть и обратно пропорциональная зависимость. Если, например, количество рабочих увеличивается, то количество дней, за которые им надо выполнить заданную работу, уменьшается.

Задача 7. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. За сколько дней 5 маляров смогут покрасить 80 окон?

Решение.

За 1 день один маляр покрасит 4 окна, а 5 маляров за 1 день – 20 окон. А 80 окон 5 маляров смогут покрасить за 4 дня (80 : 20 = 4).

Через пропорцию:

Кол-во маляров Скорость покраски
3 м.                        60/5 окон/день
5 м.                        80/х  окон/день

$5\ast\frac{60}5=3\ast\frac{80}х$
...
х = 4

В заключение обзора сложных задач на пропорцию и методов их решения рассмотрим задачу, с четырьмя величинами. Такие задачи сегодня могут встречаться на олимпиадах. Но было время, когда они входили в курс школьной математики (учебник Киселева). 

Задача 8. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 часов ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день?

Решение.

С тем, чтобы не запутаться в условии, выпишем все данные в виде таблички. В учебнике Киселева таблицы отсутствуют, а условие записано двумя строчками. Последуем его примеру:

5 керосинок 24 дня по 6 часов - 120 л
9 керосинок x дней по 8 часов - 216 л

Далее, если следовать логике решений задач, приведённых на этой странице, а также логике Киселева, решим задачу поэтапно. Сначала решим такую задачу: На сколько дней хватит 216 л керосина, если те же 5 керосинок будут гореть по 6 часов в день? То есть:

120 л - на 24 дня
216 л – на y дней

$у=\frac{216\ast24}{120}=43,2$ (дня)

То есть 216 л керосина хватит на 43,2 дня, если будет работать 5 керосинок.

Теперь найдём, на сколько дней хватит 216 л керосина, если керосинок будет не 5, а 9. То есть, если 5 керосинок могут работать 43,2 дня, то 9 керосинок меньше в 1,8 раза (9 : 5 = 1,8). То есть 9 керосинок, работая по 6 часов в день при запасе в 216 литров, проработают 24 дня.

Осталось найти, на сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 часов в день. То есть:

24 дня - по 6 часов в день
х дней - по 8 часов в день

Таким образом,

$х=\frac{24\ast6}8=18$ (дней)

Все выполненные действия можно записать одной дробью и сократить ее:

$х=\frac{24\ast216\ast5\ast6}{120\ast9\ast8}=18$ (дней)

Ответ: 18 дней.

Надеемся, что способы решения задач на пропорцию, изложенные в этой статье, помогут пятиклассникам и шестиклассникам, стремящимся изучить школьный материал, в том числе и тот, который выходит за рамки программы обычной школы, но который может быть полезен при подготовке к олимпиадам.