Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка.

Д(12) = {1,2,3,4,6,12}
Д(36) = {1,2,3,4,6,12,18,36}

Общий делитель двух данных чисел — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа.

Рассмотрим на примере чисел 12 и 36. Общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 4, 6 и 12, то есть на все эти числа оба наших числа делятся без остатка. Но математику из всех этих общих делителей интересует только наибольший - 12. Это число так и называют: наибольший общий делитель.

Наибольший общий делитель нескольких чисел (НОД) – это наибольшее натуральное целое число, на которое все исходные числа делятся без остатка.

И как вы заметили, если одно число делится без остатка на другое, то меньшее число и будет наибольшим общим делителем.

Если НОД чисел равен 1, такие числа называют взаимно простыми.

НОД (7; 9) = 1,
7 и 9 - взаимно простые числа.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1.

Как найти наибольший общий делитель

Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел, нужно сначала разложить их на простые множители. Это удобно делать в столбик.

Пример 1. Найдем НОД чисел 28 и 10. Разложим их на простые множители.

28|2 10|2
14|2  5|5
 7|7   1|
 1|

28 = 2 · 2 · 7
10 = 2 · 5

Затем найдем общие множители. Мы видим, что число 2 - одинаковый простой множитель в обоих числах. Подчеркнем его. А поскольку больше повторяющихся чисел нет, это и будет наибольший общий делитель.

НОД(28;10) = 2

Пример 2. Найдем НОД чисел 28 и 36.

28|2 36|2
14|2 18|2
 7|7   9|3
 1|     3|3
         1|

28 = 2 · 2 · 7
36 = 2 · 2 · 3 · 3

Общих множителей два: это 2 · 2. Чтобы найти НОД, нужно их перемножить.

НОД(28;36) = 2 · 2 = 4

То же самое при нахождении НОД трех и более чисел. Общий множитель находим во всех числах, а не только в паре.

Пример 3. Найдем НОД чисел 28, 36 и 48.

28|2 36|2 48|2
14|2 18|2 24|2
 7|7    9|3 12|2
  1|     3|3  6|2
          1|   3|3
                1|

28 = 2 · 2 · 7
36 = 2 · 2 · 3 · 3
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

НОД(28;36;48) = 2 · 2 = 4

Чтобы не путаться, можно подчеркивать общие множители только в одной строке (у одного числа), их и будем перемножать.

Таким образом у вас в голове должен сложиться алгоритм нахождения НОД:

1 - раскладываем числа на простые множители
2 - подчеркиваем одинаковые множители
3 - перемножаем их, не дублируя.

Потренируемся нахождению НОД на примерах

1. Найдите НОД(а;b), если а = 2 · 3 · 7 · 13; b = 3 · 3 · 3 · 13

У нас уже имеется разложение на простые множители, осталось лишь подчеркнуть общие и найти НОД.

а = 2 · 3 · 7 · 13
b = 3 · 3 · 3 · 13

НОД(а;b) = 3 · 13 = 39

2. Найдите НОД(96;72)

1) Разложим числа на простые множители:

96 = 2·2·2·2·2·3
72 = 2·2·2·3·3

2) Найдём общие множители введённых чисел: 2, 2, 2, 3

Наибольший общий делитель равен произведению найденных множителей:

НОД(96;72) = 2·2·2·3 = 24

3. Найдите НОД(840;1008;256)

1) Разложим числа на простые множители:

840 = 2·2·2·3·5·7
1008 = 2·2·2·2·3·3·7
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2

2) Найдём общие множители введённых чисел: 2, 2, 2

Наибольший общий делитель равен произведению найденных множителей:

НОД(28;36;48) = 2·2·2 = 8

4. Найдите НОД(104;121). Являются ли эти числа взаимно простыми?

1) Разложим числа на простые множители:

104 = 2·2·2·13
121 = 11·11

2) Найдём общие множители введённых чисел: 1

НОД(104;121) = 1, значит это взаимно простые числа.

5. Докажите, что числа 102 и 119 не взаимно простые.

1) Разложим числа на простые множители:

102 = 2·3·17
119 = 7·17

2) Найдём общие множители введённых чисел: 17

НОД(102, 119) = 17 , значит числа не взаимно простые.

6. Чему будет равен НОД чисел а и b, если а кратно b?

а кратно b, значит а делится на b без остатка. Это означает, что число b и есть наибольший общий делитель.

Ответ: b.

7. Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325.

1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители.

50= 2 ∙ 5 ∙ 5
75= 3 ∙ 5 ∙ 5
325= 5 ∙ 5 ∙ 13

2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других.

50= 2 ∙ 5 ∙ 5
75= 3 ∙ 5 ∙ 5
325= 5 ∙ 5 ∙13

3) Найдём произведение оставшихся множителей

5 ∙ 5 = 25

Ответ: НОД (50, 75 и 325) = 25 

Задачи на нахождение НОД

Нахождение НОД используют при решении некоторых задач. Рассмотрим примеры задач.

Для учащихся 1 класса приготовили одинаковые подарки. Во всех подарках было 120 апельсинов, 280 шоколадок и 320 конфет. Сколько учащихся в 1 классе, если известно, что их больше 30?

Решение:

Так как для учащихся приготовили одинаковые подарки, то в них должно быть поровну апельсинов, шоколадок и конфет. Следовательно, количество учащихся равно общему делителю количества апельсинов, шоколадок и конфет.

Разложим числа 120, 280 и 320 на множители и найдем их наибольший общий делитель.

120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5;
280 = 2 * 2 * 2 * 5 * 7;
320 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5.

НОД(120;280;320) = 2 * 2 * 2 * 5 = 40.

Поскольку все делители чисел 120, 280 и 320 кроме 40, меньше 30 (а по условию задачи в классе больше 30 учащихся), то число учащихся 40.

Ответ: в первом классе 40 учащихся.

Между учащимися 6 класс поровну разделили 84 мандарина и 56 апельсинов. Сколько учащихся в классе, если известно, что их более 25?

Разложим числа на простые множители:

84 = 2·2·3·7
56 = 2·2·2·7

НОД(84;56) = 2 · 2 · 7 = 28 (уч.)

Ответ: 28 учащихся в классе.

В гостиницу завезли 108 кроватей и 72 шкафа, которые поровну распределили по номерам. Сколько номеров в гостинице, если известно, что их больше 30?

108 = 2·2·3·3·3
72 = 2·2·2·3·3

НОД = 2·2·3·3 = 36 (н.)

Ответ: 36 номеров в гостинице.

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

Решение:

1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника.
   S= 48 ∙ 40 = 1960 см²  – площадь картона.
2) a – сторона квадрата
   48 : a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона.
   40 : а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона.
3) НОД (40 и 48) = 8 (см) – сторона квадрата.
4) S = a² – площадь одного квадрата.
    S = 8² = 64 (см²) – площадь одного квадрата.
5) 1960 : 64 = 30 (к.)
Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый.

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки?

Решение:

1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина.
2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки.
3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки.
4) 30420 : = 20 (штук).
Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см).

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы?

Решение:

1) P = 2( a + b) – периметр участка.
    P = 2(54 + 48) = 204 м.
2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами.
3) 204 : 6 = 34 (с.)
Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м.

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете?

Решение:

1) НОД ( 210, 126 и 294) = 42 (б.)
2) 210 : 42 = 5 (р.) - бордовых
3) 126 : 42 = 3 (р.) - белых
4) 294 : 42 = 7 (р.) - красных.
Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете.

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая?

Решение:

1) 90 + 5 = 95 (р.) - заплатила Маша.
2) НОД ( 90 и 95) = 5 (р.) – цена 1 набора.
3) 980 : 5 = 18 (н.) – купила Таня.
4) 95 : 5 = 19 (н.) – купила Маша.
Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов.

Заместитель директора Вера Александровна организует проведение дня здоровья. 424 человека повезут на стадион “Спартак” для проведения эстафет, а 477 человек – в плавательный бассейн с морской водой. Для перевозки нужно заказать автобусы. Перевозчик имеет автобусы с одинаковым количеством мест, все места должны быть заняты. Сколько автобусов надо заказать и сколько пассажиров будет в каждом автобусе?

1) НОД(424,477) = 53 (ч.) - в каждом автобусе,
2) 424 : 53 = 8 (ав.) - едут на стадион
3) 477 : 53 = 9 (ав.) - едут в бассейн
4) 8 + 9 = 17 (ав.) - всего
Ответ: 17 автобусов, 53 пассажира в каждом автобусе.

На празднике “Последнего звонка” выступающим первоклассникам принято дарить подарки. Ученики 11 “а” класса купили 58 конфет, ученики 11 “б” класс – 116 “чупа-чупсов”, а ученики 11 “в” класса – по одной мягкой игрушке. Сколько куплено мягких игрушек?

НОД (58;116) = 29
Ответ: куплено 29 мягких игрушек.

Друзья Алексей Николаевич и Борис Петрович решили заняться гостиничным бизнесом. Для своей гостиницы Алексей Николаевич завез 108 кроватей и 72 шкафа, а Борис Петрович – 128 кроватей и 64 шкафа. Кровати и шкафы распределяются по комнатам поровну. Сколько комнат в гостиницах каждого из друзей? У кого из них остановиться третьему другу Александру Ивановичу, если он отдыхает с семьей, состоящей вместе с ним из 8 человек?

1) НОД(108;72) = 36 (комн.)  - у Алексея Николаевича;
2) 108:36=3 (кровати) - в номере;
3) НОД(128;64) = 32 (комн.)  - у Бориса Петровича.
4) 128:32=4 (кровати) - в номере.
Ответ: Александру Ивановичу лучше остановиться у Бориса Петровича - 2 номера по 4 человека.

Калькулятор определения НОД и НОК

Для тех, кто уже отчаялся понять тему, НОД - калькулятор:

Если что-либо осталось для вас непонятным, задавайте вопросы в комментариях.

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)