Если одно натуральное число нацело делится на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.

Делитель числа

Делителем натурального числа a называют число b, на которое a делится без остатка.

Пример: найдите все делители числа 18.
Это означает, что нужно найти все числа, на которые 18 делится без остатка.
Число всегда можно поделить на 1 и на само себя без остатка. Записываем делители 1 и 18. Подбираем остальные числа. Примерим в качестве делителя 2. 18 : 2 = 9, 18 : 9 = 2, значит нам стали известны еще 2 делителя: 2 и 9. 18 : 3 = 6, 18 : 6 = 3, пишем 6 и 3.
Ответ: 18, 9, 6, 3, 2, 1.

Пусть m и n — натуральные числа, тогда m — делитель числа n , если существует такое натуральное число k , что n=m⋅k .

Например, 5 — делитель числа 120 , т. к. 120 = 5 ⋅ 24 .

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Любое целое число делится на себя и на единицу, так как a=a·1 и a=1·a. На основании свойств умножения целых чисел можно записать равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a), из которых следует, что числа −a и −1 также являются делителями целого числа a. Таким образом, числа a, −a, 1 и −1 всегда являются делителями целого числа a. Например, делителями числа 15 являются числа 15, −15, 1 и −1.

Отдельно нужно сказать о делителях целых чисел 0, 1 и −1. Вспомнив свойства делимости, заключаем, что делителем нуля является любое целое число, в том числе и нуль, а делителями единицы и минус единицы являются только числа 1 и −1.

Итак, целое число 0 имеет бесконечно много делителей, ими являются любые целые числа, числа 1 и −1 имеют только два делителя – единицу и минус единицу, а любое другое целое число a (кроме −1, 0 и 1) имеет, по крайней мере, четыре делителя: a, −a, 1 и −1.

Приведем еще примеры делителей целых чисел. Число −2 является делителем числа 8, так как верно равенство 8=(−2)·(−4). Делителями целого числа 8 являются также числа −8, −4, −1, 1, 2, 4, 8. А вот число −3 не является делителем числа 8, так как не существует целого числа q такого, чтобы выполнялось условие 8=(−3)·k. Иными словами, возможно только деление с остатком целых чисел 8 и −3. Вообще, ни одно целое число, кроме −8, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 8, не является делителем 8.

Из рассмотренных примеров отчетливо видно, что делителями целого числа могут быть как целые положительные, так и целые отрицательные числа. Это утверждение обосновывается следующим свойством делимости: если целое число b является делителем целого числа a, то −b (b и −b – противоположные числа) также является делителем числа a. Таким образом, мы можем рассматривать лишь положительные делители чисел, но при этом помнить, что все целые числа, противоположные положительным делителям данного числа, также являются делителями этого числа.

Напомним еще одно свойство делимости: если целое число b является делителем целого числа a, то b также является делителем целого числа −a. Из него следует, что множества делителей чисел a и −a совпадают.

Поэтому, отдавая дань краткости и простоте, в школьных учебниках рассматривают лишь делители целых положительных чисел.

Учитывая информацию двух предыдущих абзацев, дальше можно рассматривать лишь положительные делители целых положительных чисел (натуральных чисел).

Натуральное число 1 имеет единственный положительный делитель – это число 1. Этот факт отличает единицу от других натуральных чисел, так как натуральные числа, отличные от единицы, имеют не менее двух делителей, а именно себя самого и 1. В зависимости от отсутствия или наличия делителей, отличных от самого натурального числа и от единицы, различают простые и составные числа.

Единица является наименьшим положительным делителем натурального числа a, отличного от 1, а само число a является наибольшим положительным делителем (о наибольшем и наименьшем числе мы говорили в разделе сравнение трех и большего количества натуральных чисел). То есть, для любого натурального числа a любой его положительный делитель b удовлетворяет условию .

Здесь же заметим, что особую роль в математике имеет наибольший общий делитель – НОД.

Кратное чисел

Кратным натуральному числу b называют число а, которое делится без остатка на b.

Пример: запишите четыре числа, кратных числу 16.
Это означает, что нужно найти 4 числа, которые делятся на 16.
Будем подбирать по порядку множители, начиная с 1. 16 * 1 = 16, значит первое кратное числу 16 - это и есть само число 16. 16 * 2 = 32 - это второе кратное шестнадцати. Далее умножаем на 3 и на 4.
Ответ: 16, 32, 48, 64.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Мы можем умножать число 16 из предыдущего примера на 5, 120, 15678, 999 765 433  и так до бесконечности, получая бесконечное количество чисел, кратных 16-ти.

Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

Почему? Чтобы получить кратное числа а, можно умножить  число а на 1, при этом всегда получится само число а.

Общее кратное нескольких целых чисел — число, делящееся на каждое из них в отдельности.

Пример: найдите наименьшее общее кратное чисел 10 и 15.
Найдем числа, кратные числу 10. 10 * 1 = 10, 10 * 2 = 20, 10 * 3 = 30
Найдем числа, кратные числу 15. 15 * 1 = 15, 15 * 2 = 30
Число 30 - самое маленькое из тех, которые делятся и на 10, и на 15, значит это и есть наименьшее общее кратное чисел 10 и 15.

Если a является кратным целого числа b, то говорят, что a кратно b. 

Определение кратного и делимого явно указывает на существующую между ними связь. Действительно, по определению если a – кратное числа b, то b – делитель числа a, и наоборот, если b – делитель числа a, то a – кратное числа b.

Приведем примеры кратных. Например, целое число −12 есть кратное числа 3, так как −12=3·(−4). Другими кратными числа 3 являются целые числа 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9 и так далее. А вот число 7 не является кратным целого числа 3, так как 7 не делится на 3 без остатка, то есть, не существует такого целого числа q, чтобы выполнялось равенство 7=3·q.

Из определения кратного числа понятно, что нуль является кратным любого целого числа b, в том числе и нуля. Равенство 0=b·0 в этом случае выглядит очень доказательно.

Отметим, что существует бесконечно много кратных любого целого числа b, так как целых чисел бесконечно много, и любое целое число, равное произведению b·q, где q – произвольное целое число, является кратным числа b.

Наименьшим положительным кратным данного положительного числа a является само это число a. Здесь же стоит обратить внимание на то, что наименьшее положительное кратное не стоит путать с наименьшим общим кратным (НОК) нескольких чисел.

Дальше мы можем рассматривать лишь натуральные кратные целых положительных чисел. Это мы можем делать в силу тех же причин, которые были упомянуты в первом пункте этой статьи, при этом общность изложения не будет нарушена.

Рейтинг: 4 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда не активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)