2. Исторические сведения
Задание 631
а) С помощью треугольника Паскаля запишите в стандартном виде шестую и седьмую степень двучлена (a + b).
б) Убедитесь, что сумма чисел n−й строки треугольника Паскаля равна $2^n$. Выполните проверку от n = 1 до n = 10.
Решение
а) Треугольник Паскаля:
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
...
$(a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
$(a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7$
б) 0 строка: $1 = 2^0$
1 строка: $1 + 1 = 2 = 2^1$
2 строка: $1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$
3 строка: $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$
4 строка: $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$
5 строка: $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$
6 строка: $1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2^6$
7 строка: $1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7$
8 строка: $1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2^8$
9 строка: $1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 2^9$
10 строка: $1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024 = 2^{10}$
Задание 632
а) Используя справочную литературу и Интернет, выясните, когда и у каких народов появились первые упоминания об арифметическом треугольнике и как он называется в Иране, в Китае. Какими еще свойствами обладают числа треугольника Паскаля?
б) Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение об И.Ньютоне и о задачах его "Всеобщей арифметики".
Решение
а) Первое упоминание об этом треугольнике появилось в 10 веке в Древней Индии. Затем им интересовались многие математики, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма, а китайцы − треугольником Яна Хуэя. А в 1653 году вышла книга Блеза Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике".
Свойства строк треугольника Паскаля
Сумма чисел n−й строки паскаля равна 2n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна $2^0 = 1$)
Биномиальные коэффициенты
Числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биноминальными коэффициентами.
1. $(1 + x)^0 = 1$
2. $(1 + x)^1 = 1 + x$
3. $(1 + x)^2 = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x^2$
4. $(1 + x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3$
и т.д.
Вообще, для любого целого неотрицательного числа n
$(1 + x)^n = a^0 + a^1x + a^2x^2 + ... + a^px^p$, где $a^0, a^1, ..., a^p$
Именно это фундаментальное свойство треугольника паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.
б) Иссак Ньютон − английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда "Математические начала натуральной философии", в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.
В 1707 году вышел сборник математических работ Ньютона "Универсальная арифметика". Приведенные в ней численные методы ознаменовали рождение новой перспективной дисциплины − численного анализа.
Тираж книги для научного издания тех лет мог считаться огромным: 1250 экземпляров.
В начале книги Ньютон поясняет отношение арифметики и алгебры: цель алгебры − открыть и исследовать общие законы арифметики, а также предложить практические методы решения уравнений.
Особое внимание Ньютон уделил решению алгебраических уравнений, эта тема занимает почти половину книги. В ходе изложения приводятся решения 77 типовых задач (в основном геометрического характера), снабженные подробными разъяснениями и методическими рекомендациями.
Среди других открытий Ньютона, изложенных в книге, можно упомянуть:
• Одна из первых формулировок основной теоремы алгебры: число вещественных корней многочлена не превосходит его степени, а число комплексных корней всегда четно.
• Обобщение декартовского "правила знаков" для определения числа корней многочлена.
