Задание 618

Вычислите:
а) $\frac{2000^{-3} - 1999^{-3}}{2000^{-2} + 2000^{-1} * 1999^{-1} + 1999^{-2}}$;
б) $\frac{1222^{-3} + 777^{-3}}{1222^{-2} - 1222^{-1} * 777^{-1} + 777^{-2}}$.

Решение

а) $\frac{2000^{-3} - 1999^{-3}}{2000^{-2} + 2000^{-1} * 1999^{-1} + 1999^{-2}} = \frac{(2000^{-1})^3 - (1999^{-1})^3}{2000^{-2} + 2000^{-1} * 1999^{-1} + 1999^{-2}} = \frac{(2000^{-1} - 1999^{-1})(2000^{-2} + 2000^{-1} * 1999^{-1} + 1999^{-2})}{2000^{-2} + 2000^{-1} * 1999^{-1} + 1999^{-2}} = 2000^{-1} - 1999^{-1} = \frac{1}{2000} - \frac{1}{1999} = \frac{1999 - 2000}{2000 * 1999} = \frac{1}{3998000}$

б) $\frac{1222^{-3} + 777^{-3}}{1222^{-2} - 1222^{-1} * 777^{-1} + 777^{-2}} = \frac{(1222^{-1})^3 + (777^{-1})^3}{1222^{-2} - 1222^{-1} * 777^{-1} + 777^{-2}} = \frac{(1222^{-1} + 777^{-1})(1222^{-2} - 1222^{-1} * 777^{-1} + 777^{-2})}{1222^{-2} - 1222^{-1} * 777^{-1} + 777^{-2}} = 1222^{-1} + 777^{-1} = \frac{1}{1222} + \frac{1}{777} = \frac{777 + 1222}{1222 * 777} = \frac{1999}{949494}$

Задание 619

Упростите выражение:
а) $\frac{\frac{2a}{1 - a}}{1 - (\frac{1 - a}{2a})^{-1}}$;
б) $\frac{\frac{2a}{2 - a}}{2 - (\frac{2 - a}{2a})^{-1}}$;
в) $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3})^{-1} + (\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{x})^{-1}$;
г) $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1})^{-1} + (\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x})^{-1}$.

Решение

а) $\frac{\frac{2a}{1 - a}}{1 - (\frac{1 - a}{2a})^{-1}} = \frac{\frac{2a}{1 - a}}{1 - \frac{2a}{1 - a}} = \frac{\frac{2a}{1 - a}}{\frac{1 - a - 2a}{1 - a}} = \frac{\frac{2a}{1 - a}}{\frac{1 - 3a}{1 - a}} = \frac{2a}{1 - a} : \frac{1 - 3a}{1 - a} = \frac{2a}{1 - a} * \frac{1 - a}{1 - 3a} = \frac{2a}{1 - 3a}$

б) $\frac{\frac{2a}{2 - a}}{2 - (\frac{2 - a}{2a})^{-1}} = \frac{\frac{2a}{2 - a}}{2 - \frac{2a}{2 - a}} = \frac{\frac{2a}{2 - a}}{\frac{4 - 2a - 2a}{2 - a}} = \frac{\frac{2a}{2 - a}}{\frac{4 - 4a}{2 - a}} = \frac{2a}{2 - a} : \frac{4 - 4a}{2 - a} = \frac{2a}{2 - a} * \frac{2 - a}{4(1 - a)} = \frac{a}{2(2 - a)}$

в) $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3})^{-1} + (\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{x})^{-1} = (\frac{x + 3 - x}{x(x + 3)})^{-1} + (\frac{3x - 3x - 9}{x(x + 3)})^{-1} = (\frac{3}{x(x + 3)})^{-1} - (\frac{-9}{x(x + 3)})^{-1} = \frac{x(x + 3)}{3} - \frac{x(x + 3)}{9} = \frac{3x^2 + 9x - x^2 - 3x}{9} = \frac{2x^2 + 6x}{9} = \frac{2x(x + 3)}{9}$

г) $(\frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1})^{-1} + (\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x})^{-1} = (\frac{x - 1 - x}{x(x - 1)})^{-1} + (\frac{4x - 4x + 4}{x(x - 1)})^{-1} = (\frac{-1}{x(x - 1)})^{-1} + (\frac{4}{x(x - 1)})^{-1} = -\frac{x(x - 1)}{1} + \frac{x(x - 1)}{4} = \frac{-4x^2 + 4x + x^2 - x}{4} = \frac{-3x^2 + 3x}{4} = \frac{-3x(x - 1)}{4}$

Задание 620

Упростите выражение:
а) $\frac{2a^{-2}}{3 - a^{-2}} - \frac{2a^{-2}}{3 + a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = (\frac{1}{2})^{-1}$;
б) $\frac{2a^{-2}}{1 - a^{-2}} + \frac{2a^{-2}}{1 + a^{-2}}$ и найдите его значение при $a = (\frac{1}{5})^{-1}$;
в) $(\frac{a^{-2}}{2 - a^{-2}})^{-2} - \frac{a^{-2}}{2 + a^{-2}}^{-2}$ и найдите его значение при $a = (\frac{1}{2})^{-2}$;
г) $(\frac{2a^{-2}}{5 - a^{-2}})^{-2} - (\frac{2a^{-2}}{5 + a^{-2}})^{-2}$ и найдите его значение при $a = (\frac{1}{2})^{-2}$.

Решение

а) $\frac{2a^{-2}}{3 - a^{-2}} - \frac{2a^{-2}}{3 + a^{-2}} = \frac{1}{2} = \frac{2a^{-2}(3 + a^{-2}) - 2a^{-2}(3 - a^{-2})}{(3 - a^{-2})(3 + a^{-2})} = \frac{6a^{-2} + 2a^{-4} - 6a^{-2} + 2a^{-4}}{9 - a^{-4}} = \frac{4a^{-4}}{9 - a^{-4}} = \frac{4\frac{1}{a^4}}{9 - \frac{1}{a^4}} = \frac{\frac{4}{a^4}}{\frac{9a^4 - 1}{a^4}} = \frac{4}{a^4} : \frac{9a^4 - 1}{a^4} = \frac{4}{a^4} * \frac{a^4}{9a^4 - 1} = \frac{4}{9a^4 - 1}$
при $a = (\frac{1}{2})^{-1} = 2^1 = 2$:
$\frac{4}{9a^4 - 1} = \frac{4}{9 * 2^4 - 1} = \frac{4}{9 * 16 - 1} = \frac{4}{144 - 1} = \frac{4}{143}$

б) $\frac{2a^{-2}}{1 - a^{-2}} + \frac{2a^{-2}}{1 + a^{-2}} = \frac{2a^{-2}(1 + a^{-2}) + 2a^{-2}(1 - a^{-2})}{(1 - a^{-2})(1 + a^{-2})} = \frac{2a^{-2} + 2a^{-4} + 2a^{-2} - 2a^{-4}}{1 - a^{-4}} = \frac{4a^{-2}}{1 - a^{-4}} = \frac{4\frac{1}{a^2}}{1 - \frac{1}{a^4}} = \frac{\frac{4}{a^2}}{\frac{a^4 - 1}{a^4}} = \frac{4}{a^2} : \frac{a^4 - 1}{a^4} = \frac{4}{a^2} * \frac{a^4}{a^4 - 1} = \frac{4a^2}{a^4 - 1}$
при $a = (\frac{1}{5})^{-1} = 5^1 = 5$:
$\frac{4a^2}{a^4 - 1} = \frac{4 * 5^2}{5^4 - 1} = \frac{4 * 25}{625 - 1} = \frac{100}{624} = \frac{25}{156}$

в) $(\frac{a^{-2}}{2 - a^{-2}})^{-2} - \frac{a^{-2}}{2 + a^{-2}}^{-2} = (\frac{2 - a^{-2}}{a^{-2}})^2 - (\frac{2 + a^{-2}}{a^{-2}}) = \frac{4 - 4a^{-2} + a^{-4}}{a^{-4}} - \frac{4 + 4a^{-2} + a^{-4}}{a^{-4}} = \frac{4 - 4a^{-2} + a^{-4} - 4 - 4a^{-2} - a^{-4}}{a^{-4}} = \frac{-8a^{-2}}{a^{-4}} = -8a^{-2}a^4 = -8a^2$
при $a = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$:
$-8a^2 = -8 * 4^2 = -8 * 16 = -128$

г) $(\frac{2a^{-2}}{5 - a^{-2}})^{-2} - (\frac{2a^{-2}}{5 + a^{-2}})^{-2} = (\frac{5 - a^{-2}}{2a^{-2}})^2 - (\frac{5 + a^{-2}}{2a^{-2}})^2 = \frac{25 - 10a^{-2} + a^{-4}}{4a^{-4}} - \frac{25 + 10a^{-2} + a^{-4}}{4a^{-4}} = \frac{25 - 10a^{-2} + a^{-4} - 25 - 10a^{-2} - a^{-4}}{4a^{-4}} = \frac{-20a^{-2}}{4a^{-4}} = -5a^{-2}a^4 = -5a^2$
при $a = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$:
$-5a^2 = -5 * 4^2 = -5 * 16 = -80$

Задание 621

Найдите значение выражения:
а) $\frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}}$, если $\frac{x}{y} = 2^{-1}$;
б) $\frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}}$, если $\frac{x}{y} = 3^{-1}$.

Решение

а) $\frac{3x^{-2} + 2y^{-2}}{2x^{-2} + 3y^{-2}} = \frac{\frac{3}{x^2} + \frac{2}{y^2}}{\frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2}} = \frac{\frac{3y^2 + 2x^2}{x^2y^2}}{\frac{2y^2 + 3x^2}{x^2y^2}} = \frac{3y^2 + 2x^2}{x^2y^2} * \frac{x^2y^2}{2y^2 + 3x^2} = \frac{3y^2 + 2x^2}{2y^2 + 3x^2}$
при $\frac{x}{y} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$:
y = 2x, тогда:
$\frac{3y^2 + 2x^2}{2y^2 + 3x^2} = \frac{3 * (2x)^2 + 2x^2}{2 * (2x)^2 + 3x^2} = \frac{12x^2 + 2x^2}{8x^2 + 3x^2} = \frac{14x^2}{11x^2} = \frac{14}{11} = 1\frac{3}{11}$

б) $\frac{3x^{-2} - 2y^{-2}}{2x^{-2} - 3y^{-2}} = \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{y^2}}{\frac{2}{x^2} - \frac{3}{y^2}} = \frac{\frac{3y^2 - 2x^2}{x^2y^2}}{\frac{2y^2 - 3x^2}{x^2y^2}} = \frac{3y^2 - 2x^2}{x^2y^2} * \frac{x^2y^2}{2y^2 - 3x^2} = \frac{3y^2 - 2x^2}{2y^2 - 3x^2}$
при $\frac{x}{y} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$:
y = 3x, тогда:
$\frac{3y^2 - 2x^2}{2y^2 - 3x^2} = \frac{3 * (3x)^2 - 2x^2}{2 * (3x)^2 - 3x^2} = \frac{25x^2}{15x^2} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$