Параграф 7.4. Рациональные выражения

Задание 533

а) Что называют рациональным выражением?
б) Какие выражения не имеют смысла?

Решение

а) Рациональным выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединены знаками арифметических действий.

б) Рациональное выражение не имеет смысл, если есть деление на ноль.

Задание 534

Упростите рациональное выражение:
а) $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})abc$;
б) $5x^2(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + 3)$;
в) $(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) * \frac{ab}{c}$;
г) $3x^3(\frac{2}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{4}{x})$.

Решение

а) $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})abc = \frac{bc + ac + ab}{abc} * \frac{abc}{1} = bc + ac + ab$

б) $5x^2(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + 3) = 5x^2 * \frac{1 - x + 3x^2}{x^2} = 5(1 - x + 3x^2) = 5 - 5x + 15x^2$

в) $(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}) * \frac{ab}{c} = \frac{a^2c + b^2c + c^2b}{abc} * \frac{ab}{c} = \frac{c(a^2 + b^2 + cb)}{c * c} = \frac{a^2 + b^2 + cb}{c}$

г) $3x^3(\frac{2}{x^2} + \frac{1}{y} + \frac{4}{x}) = 3x^3 * \frac{2y + x^2 + 4xy}{x^2y} = \frac{3x(2y + x^2 + 4xy)}{y}$

Задание 535

Упростите рациональное выражение:
а) $(\frac{a + x}{a} - \frac{x - y}{x}) * \frac{a^2}{x^2 + ay}$;
б) $(\frac{a}{a - 1} + 1) : (1 - \frac{a}{a - 1})$;
в) $(m - \frac{1}{1 + m}) * \frac{m + 1}{1 - m - m^2}$;
г) $(a + \frac{a^2}{c}) : (b + \frac{bc}{a})$;
д) $(\frac{a + x}{x} - \frac{2x}{x - a}) : \frac{a^2 + x^2}{x - a}$;
е) $(\frac{x^2 + 1}{2x - 1} - \frac{x}{2}) * \frac{1 - 2x}{x + 2}$;
ж) $(\frac{n}{n + x} - \frac{n}{n - x}) : (\frac{n}{n - x} + \frac{n}{n + x})$;
з) $\frac{3}{5x} - \frac{3}{x + y} * (\frac{x + y}{5x} - x - y)$.

Решение

а) $(\frac{a + x}{a} - \frac{x - y}{x}) * \frac{a^2}{x^2 + ay} = \frac{x(a + x) - a(x - y)}{ax} * \frac{a^2}{x^2 + ay} = \frac{ax + x^2 - ax + ay}{x} * \frac{a}{x^2 + ay} = \frac{x^2 + ay}{x} * \frac{a}{x^2 + ay} = \frac{a}{x}$

б) $(\frac{a}{a - 1} + 1) : (1 - \frac{a}{a - 1}) = \frac{a + a - 1}{a - 1} : \frac{a - 1 - a}{a - 1} = \frac{2a - 1}{a - 1} : \frac{-1}{a - 1} = \frac{2a - 1}{a - 1} * \frac{a - 1}{-1} = -(2a - 1) = 1 - 2a$

в) $(m - \frac{1}{1 + m}) * \frac{m + 1}{1 - m - m^2} = \frac{m(1 + m) - 1}{1 + m} * \frac{m + 1}{1 - m - m^2} = \frac{m + m^2 - 1}{1 + m} * \frac{m + 1}{1 - m - m^2} = \frac{-(1 - m - m^2)}{1 - m - m^2} = -1$

г) $(a + \frac{a^2}{c}) : (b + \frac{bc}{a}) = \frac{ac + a^2}{c} : \frac{ab + bc}{a} = \frac{a(c + a)}{c} * \frac{a}{b(a + c)} = \frac{a^2}{bc}$

д) $(\frac{a + x}{x} - \frac{2x}{x - a}) : \frac{a^2 + x^2}{x - a} = \frac{(x - a)(x + a) - 2x^2}{x(x - a)} * \frac{x - a}{a^2 + x^2} = \frac{x^2 - a^2 - 2x^2}{x(a + x^2)} = \frac{-a^2 - x^2}{x(a^2 + x^2)} = \frac{-(a^2 + x^2)}{x(a^2 + x^2)} = -\frac{1}{x}$

е) $(\frac{x^2 + 1}{2x - 1} - \frac{x}{2}) * \frac{1 - 2x}{x + 2} = \frac{2(x^2 + 1) - x(2x - 1)}{2(2x - 1)} * \frac{1 - 2x}{x + 2} = \frac{2x^2 + 2 - 2x^2 + x}{2(2x - 1)} * \frac{-1(2x - 1)}{x + 2} = \frac{(2 + x) * (-1)}{2(x + 2)} = -\frac{1}{2}$

ж) $(\frac{n}{n + x} - \frac{n}{n - x}) : (\frac{n}{n - x} + \frac{n}{n + x}) = \frac{n(n - x) - n(n + x)}{(n + x)(n - x)} : \frac{n(n + x) + n(n - x)}{(n - x)(n + x)} = \frac{n^2 - nx - n^2 - nx}{(n + x)(n - x)} * \frac{(n - x)(n + x)}{n^2 + nx + n^2 - nx} = \frac{-2nx}{2n^2} = -\frac{x}{n}$

з) $\frac{3}{5x} - \frac{3}{x + y} * (\frac{x + y}{5x} - x - y) = \frac{3}{5x} - \frac{3}{x + y} * \frac{x + y - 5x^2 - 5xy}{5x} = \frac{3}{5x} - \frac{3(x + y - 5x^2 - 5xy)}{5x(x + y)} = \frac{3(x + y) - 3(x + y - 5x^2 - 5xy)}{5x(x + y)} = \frac{3x + 3y - 3x - 3y + 15x^2 + 15xy}{5x(x + y)} = \frac{15x^2 + 15xy}{5x(x + y)} = \frac{15(x + y)}{5x(x + y)} = 3$

Задание 536

Упростите рациональное выражение:
а) $(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b})$;
б) $(\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3}) : (\frac{3a}{2b} + b)$;
в) $(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b})$.

Решение

а) $(a^2 - \frac{1}{b^2}) : (a - \frac{1}{b}) = ((a - \frac{1}{b})(a + \frac{1}{b})) : (a - \frac{1}{b}) = a + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$

б) $(\frac{3a^2}{4b^2} - \frac{b^2}{3}) : (\frac{3a}{2b} + b) = \frac{9a^2 - 4b^4}{12b^2} : \frac{3a + 2b^2}{2b} = \frac{(3a - 2b^2)(3a + 2b^2)}{12b^2} * \frac{2b}{3a + 2b^2} = \frac{3a - 2b^2}{6b}$

в) $(4x^2 - \frac{1}{9b^2}) : (2x - \frac{1}{3b}) = ((2x - \frac{1}{3b})(2x + \frac{1}{3b})) : (2x - \frac{1}{3b}) = 2x + \frac{1}{3b} = \frac{6bx + 1}{3b}$

Задание 537

Упростите рациональное выражение:
а) $\frac{x + y}{x} - \frac{x}{x - y} + \frac{y^2}{x^2 - xy}$;
б) $\frac{1}{m + 2} + \frac{1}{m - 2} - \frac{4}{m^2 - 4}$;
в) $\frac{3x^2 + 3xy}{4xy + 6ay} * (\frac{x}{ax + ay} + \frac{3}{2x + 2y})$;
г) $(\frac{c - d}{c^2 + cd} - \frac{c}{d^2 + cd}) : (\frac{d^2}{c^3 - cd^2} + \frac{1}{c + d})$.

Решение

а) $\frac{x + y}{x} - \frac{x}{x - y} + \frac{y^2}{x^2 - xy} = \frac{x + y}{x} - \frac{x}{x - y} + \frac{y^2}{x(x - y)} = \frac{(x + y)(x - y) - x * x + y^2}{x(x - y)} = \frac{x^2 - y^2 - x^2 + y^2}{x(x - y)} = \frac{0}{x - y} = 0$

б) $\frac{1}{m + 2} + \frac{1}{m - 2} - \frac{4}{m^2 - 4} = \frac{1}{m + 2} + \frac{1}{m - 2} - \frac{4}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{m - 2 + m + 2 - 4}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{2m - 4}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{2(m - 2)}{(m - 2)(m + 2)} = \frac{2}{m + 2}$

в) $\frac{3x^2 + 3xy}{4xy + 6ay} * (\frac{x}{ax + ay} + \frac{3}{2x + 2y}) = \frac{3x(x + y)}{2y(2x + 3a)} * (\frac{x}{a(x + y) + \frac{3}{2(x + y)}}) = \frac{3x(x + y)}{2y(2x + 3a)} * \frac{2x + 3a}{2a(x + y)} = \frac{3x}{2y * 2a} = \frac{3x}{4ay}$

г) $(\frac{c - d}{c^2 + cd} - \frac{c}{d^2 + cd}) : (\frac{d^2}{c^3 - cd^2} + \frac{1}{c + d}) = (\frac{c - d}{c(c + d)} - \frac{c}{d(d + c)}) : (\frac{d^2}{c(c^2 - d^2)} + \frac{1}{c + d}) = \frac{d(c - d) - c * c}{cd(c + d)} : (\frac{d^2}{c(c - d)(c + d) + \frac{1}{c + d}}) = \frac{cd - d^2 - c^2}{cd(c + d)} : \frac{d^2 + c(c - d)}{c(c - d)(c + d)} = \frac{cd - d^2 - c^2}{cd(c + d)} * \frac{c(c - d)(c + d)}{d^2 + c^2 - cd} = \frac{-(d^2 + c^2 - cd)(c - d)}{d(d^2 + c^2 - cd)} = \frac{d - c}{d}$