Задание 498
Приведите к общему знаменателю дроби:
а) $\frac{x}{2}$ и $\frac{1}{3}$;
б) $\frac{x}{5}$ и $\frac{-3}{7}$;
в) $\frac{2x}{5}$ и $\frac{5}{-6}$;
г) $\frac{2}{3}$ и $\frac{7x}{-4}$;
д) $\frac{5}{3x}$ и $\frac{7}{6}$;
е) $\frac{11}{2x}$ и $\frac{3}{7}$;
ж) $\frac{4}{x}$ и $\frac{3}{-x}$;
з) $\frac{1}{5x}$ и $\frac{13}{-10x}$;
и) $\frac{3}{x}$ и $\frac{x}{3}$.
Решение
а) $\frac{x}{2}$ и $\frac{1}{3}$
общий знаменатель 6
$\frac{x}{2} = \frac{x * 3}{2 * 3} = \frac{3x}{6}$;
$\frac{1}{3} = \frac{1 * 2}{3 * 2} = \frac{2}{6}$.
$\frac{3x}{6}$ и $\frac{2}{6}$
б) $\frac{x}{5}$ и $\frac{-3}{7}$
общий знаменатель 35
$\frac{x}{5} = \frac{x * 7}{5 * 7} = \frac{7x}{35}$;
$\frac{-3}{7} = -\frac{3 * 5}{7 * 5} = -\frac{15}{35}$.
Ответ:
$\frac{7x}{35}$ и $-\frac{15}{35}$
в) $\frac{2x}{5}$ и $\frac{5}{-6}$
общий знаменатель 30
$\frac{2x}{5} = \frac{2x * 6}{5 * 6} = \frac{12x}{30}$;
$\frac{5}{-6} = -\frac{5 * 5}{6 * 5} = -\frac{25}{30}$.
Ответ:
$\frac{12x}{30}$ и $-\frac{25}{30}$
г) $\frac{2}{3}$ и $\frac{7x}{-4}$
общий знаменатель 12
$\frac{2}{3} = \frac{2 * 4}{3 * 4} = \frac{8}{12}$;
$\frac{7x}{-4} = -\frac{7x * 3}{4 * 3} = -\frac{21x}{12}$.
Ответ:
$\frac{8}{12}$ и $-\frac{21x}{12}$
д) $\frac{5}{3x}$ и $\frac{7}{6}$
общий знаменатель 6x
$\frac{5}{3x} = \frac{5 * 2}{3x * 2} = \frac{10}{6x}$;
$\frac{7}{6} = \frac{7 * x}{6 * x} = \frac{7x}{6x}$.
Ответ:
$\frac{10}{6x}$ и $\frac{7x}{6x}$
е) $\frac{11}{2x}$ и $\frac{3}{7}$
общий знаменатель 14x
$\frac{11}{2x} = \frac{11 * 7}{2x * 7} = \frac{77}{14x}$;
$\frac{3}{7} = \frac{3 * 2x}{7 * 2x} = \frac{6x}{14x}$.
Ответ:
$\frac{77}{14x}$ и $\frac{6x}{14x}$
ж) $\frac{4}{x}$ и $\frac{3}{-x}$
общий знаменатель x
$\frac{3}{-x} = -\frac{3}{x}$
Ответ:
$\frac{4}{x}$ и $-\frac{3}{x}$
з) $\frac{1}{5x}$ и $\frac{13}{-10x}$
общий знаменатель 10x
$\frac{1}{5x} = \frac{1 * 2}{5x * 2} = \frac{2}{10x}$;
$\frac{13}{-10x} = -\frac{13}{10x}$.
Ответ:
$\frac{2}{10x}$ и $-\frac{13}{10x}$
и) $\frac{3}{x}$ и $\frac{x}{3}$
общий знаменатель 3x
$\frac{3}{x} = \frac{3 * 3}{x * 3} = \frac{9}{3x}$;
$\frac{x}{3} = \frac{x * x}{3 * x} = \frac{x^2}{3x}$.
Ответ:
$\frac{9}{3x}$ и $\frac{x^2}{3x}$
Задание 499
Приведите к общему знаменателю дроби:
а) $\frac{x}{x - 2}$ и $\frac{1}{2 - x}$;
б) $\frac{x}{5 + x}$ и $\frac{3}{x + 5}$;
в) $\frac{4x}{x - 1}$ и $\frac{2 - 7x}{1 - x}$;
г) $\frac{2x}{3x + 6}$ и $\frac{5}{x + 2}$;
д) $\frac{15}{2x - 8}$ и $\frac{7}{x - 4}$;
е) $\frac{3 - x}{5 - x}$ и $\frac{5}{2x - 10}$.
Решение
а)
$\frac{x}{x - 2}$ и $\frac{1}{2 - x}$
$\frac{1}{2 - x} = \frac{-1}{-(2 - x)} = -\frac{1}{x - 2}$
$\frac{x}{x - 2}$ и $-\frac{1}{x - 2}$
б)
$\frac{x}{5 + x}$ и $\frac{3}{x + 5}$
$\frac{3}{x + 5} = \frac{3}{5 + x}$
$\frac{x}{5 + x}$ и $\frac{3}{5 + x}$
в)
$\frac{4x}{x - 1}$ и $\frac{2 - 7x}{1 - x}$
$\frac{2 - 7x}{1 - x} = \frac{-(2 - 7x)}{-(1 - x)} = \frac{7x - 2}{x - 1}$
$\frac{4x}{x - 1}$ и $\frac{7x - 2}{x - 1}$
г)
$\frac{2x}{3x + 6}$ и $\frac{5}{x + 2}$
$\frac{2x}{3x + 6} = \frac{2x}{3(x + 2)}$
$\frac{5}{x + 2} = \frac{3 * 5}{3(x + 2)} = \frac{15}{3(x + 2)}$
$\frac{2x}{3(x + 2)}$ и $\frac{15}{3(x + 2)}$
д)
$\frac{15}{2x - 8}$ и $\frac{7}{x - 4}$
$\frac{15}{2x - 8} = \frac{15}{2(x - 4)}$
$\frac{7}{x - 4} = \frac{2 * 7}{2(x - 4)} = \frac{14}{2(x - 4)}$
$\frac{15}{2(x - 4)}$ и $\frac{14}{2(x - 4)}$
е)
$\frac{3 - x}{5 - x}$ и $\frac{5}{2x - 10}$
$\frac{5}{2x - 10} = \frac{5}{2(x - 5)} = \frac{-5}{-2(x - 5)} = -\frac{5}{2(5 - x)}$
$\frac{3 - x}{5 - x} = \frac{2(3 - x)}{2(5 - x)}$
$\frac{2(3 - x)}{2(5 - x)}$ и $-\frac{5}{2(5 - x)}$
Задание 500
Приведите к общему знаменателю дроби:
а) $\frac{x}{3x - x^2}$ и $\frac{4}{3 - x}$;
б) $\frac{1}{2 + x}$ и $\frac{x - 1}{x^2 - 4}$;
в) $\frac{3}{4 + 6x}$ и $\frac{5x}{9x + 6}$;
г) $\frac{5x}{3 - x}$ и $\frac{2}{x^2 - 9}$.
Решение
а)
$\frac{x}{3x - x^2}$ и $\frac{4}{3 - x}$
$\frac{x}{3x - x^2} = \frac{x}{x(3 - x)}$
$\frac{4}{3 - x} = \frac{4x}{x(3 - x)}$
$\frac{x}{x(3 - x)}$ и $\frac{4x}{x(3 - x)}$
б)
$\frac{1}{2 + x}$ и $\frac{x - 1}{x^2 - 4}$
$\frac{x - 1}{x^2 - 4} = \frac{x - 1}{(x - 2)(x + 2)}$
$\frac{1}{2 + x} = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$
$\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$ и $\frac{x - 1}{(x - 2)(x + 2)}$
в)
$\frac{3}{4 + 6x}$ и $\frac{5x}{9x + 6}$
$\frac{3}{4 + 6x} = \frac{3}{2(2 + 3x)}$
$\frac{5x}{9x + 6} = \frac{5x}{3(3x + 2)}$
$\frac{3}{2(2 + 3x)} = \frac{3 * 3}{3 * 2(2 + 3x)} = \frac{9}{6(2 + 3x)}$
$\frac{5x}{3(3x + 2)} = \frac{2 * 5x}{2 * 3(3x + 2)} = \frac{10x}{6(2 + 3x)}$
$\frac{9}{6(2 + 3x)}$ и $\frac{10x}{6(2 + 3x)}$
г)
$\frac{5x}{3 - x}$ и $\frac{2}{x^2 - 9}$
$\frac{2}{x^2 - 9} = \frac{2}{(x - 3)(x + 3)}$
$\frac{5x}{3 - x} = \frac{-(x + 3) * 5x}{-(x + 3)(3 - x)} = \frac{-5x(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = -\frac{5x(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}$
$-\frac{5x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)}$ и $\frac{2}{(x - 3)(x + 3)}$
Задание 501
Приведите к общему знаменателю дроби:
а) $\frac{x}{4x + x^2}$ и $\frac{4}{3x + 12}$;
б) $\frac{13x}{25 - x^2}$ и $\frac{x - 1}{10 + 2x}$;
в) $\frac{x - 3}{4 - x^2}$ и $\frac{5x}{x^2 - 4}$;
г) $\frac{2}{(x - 3)^2}$ и $\frac{1 + x}{x^2 - 9}$.
Решение
а)
$\frac{x}{4x + x^2}$ и $\frac{4}{3x + 12}$
$\frac{x}{4x + x^2} = \frac{x}{x(4 + x)} = \frac{1}{x + 4}$
$\frac{4}{3x + 12} = \frac{4}{3(x + 4)}$
$\frac{1}{x + 4} = \frac{3}{3(x + 4)}$
$\frac{3}{3(x + 4)}$ и $\frac{4}{3(x + 4)}$
б)
$\frac{13x}{25 - x^2}$ и $\frac{x - 1}{10 + 2x}$
$\frac{13x}{25 - x^2} = \frac{13x}{(5 - x)(5 + x)}$
$\frac{x - 1}{10 + 2x} = \frac{x - 1}{2(5 + x)}$
$\frac{13x}{(5 - x)(5 + x)} = \frac{26x}{2(5 - x)(5 + x)}$
$\frac{x - 1}{2(5 + x)} = \frac{(x - 1)(5 - x)}{2(5 + x)(5 - x)}$
$\frac{26x}{2(5 - x)(5 + x)}$ и $\frac{(x - 1)(5 - x)}{2(5 + x)(5 - x)}$
в)
$\frac{x - 3}{4 - x^2}$ и $\frac{5x}{x^2 - 4}$
$\frac{5x}{x^2 - 4} = -\frac{5x}{4 - x^2}$
$\frac{x - 3}{4 - x^2}$ и $-\frac{5x}{4 - x^2}$
г)
$\frac{2}{(x - 3)^2}$ и $\frac{1 + x}{x^2 - 9}$
$\frac{1 + x}{x^2 - 9} = \frac{1 + x}{(x - 3)(x + 3)}$
$\frac{2}{(x - 3)^2} = \frac{2(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)}$
$\frac{1 + x}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{(1 + x)(x - 3)}{(x - 3)^2(x + 3)}$
$\frac{2(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)}$ и $\frac{(1 + x)(x - 3)}{(x - 3)^2(x + 3)}$
Задание 502
Приведите к общему знаменателю дроби:
а) $\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{x - 4}{5x + 10}$;
б) $\frac{1 + x}{x^2 + 2x + 4}$ и $\frac{x - 1}{x^3 - 8}$;
в) $\frac{x}{9 + 3x + x^2}$ и $\frac{5}{x^3 - 27}$;
г) $\frac{12}{(x - 3)^2}$ и $\frac{2 + x}{(3 - x)^2}$.
Решение
а)
$\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{x - 4}{5x + 10}$
$\frac{3x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{3x}{(x + 2)^2}$
$\frac{x - 4}{5x + 10} = \frac{x - 4}{5(x + 2)}$
$\frac{3x}{(x + 2)^2} = \frac{15x}{5(x + 2)^2}$
$\frac{x - 4}{5(x + 2)} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{5(x + 2)^2}$
$\frac{15x}{5(x + 2)^2}$ и $\frac{(x - 4)(x + 2)}{5(x + 2)^2}$
б)
$\frac{1 + x}{x^2 + 2x + 4}$ и $\frac{x - 1}{x^3 - 8}$
$\frac{x - 1}{x^3 - 8} = \frac{x - 1}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$
$\frac{(1 + x)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$
$\frac{(1 + x)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$ и $\frac{x - 1}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}$
в)
$\frac{x}{9 + 3x + x^2}$ и $\frac{5}{x^3 - 27}$
$\frac{x}{9 + 3x + x^2} = \frac{x}{x^2 + 3x + 9}$
$\frac{5}{x^3 - 27} = \frac{5}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$
$\frac{x}{x^2 + 3x + 9} = \frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$
$\frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$ и $\frac{5}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$
г)
$\frac{12}{(x - 3)^2}$ и $\frac{2 + x}{(3 - x)^2}$
$\frac{2 + x}{(3 - x)^2} = \frac{2 + x}{(x - 3)^2}$
$\frac{12}{(x - 3)^2}$ и $\frac{2 + x}{(x - 3)^2}$
