Задание 370
Выделите полный квадрат из многочлена:
а) $4x^2 + 4x + 5$;
б) $9x^2 + 6x + 7$;
в) $16x^2 + 8x - 1$;
г) $25x^2 + 20x + 3$;
д) $4x^2 + 4x + 3$;
е) $9x^2 + 18x + 4$;
ж) $2x^2 + 4x + 5$;
з) $5x^2 + 20x + 1$;
и) $3x^2 - 12x + 16$;
к) $6x^2 - 24x + 1$.
Решение
а) $4x^2 + 4x + 5 = (2x)^2 + 2 * 2x + 1 + 4 = (2x + 1)^2 + 4$
б) $9x^2 + 6x + 7 = (3x^2) + 2 * 3x + 1 + 6 = (3x + 1)^2 + 6$
в) $16x^2 + 8x - 1 = (4x)^2 + 2 * 4x * 1 + 1 - 2 = (4x + 1)^2 - 2$
г) $25x^2 + 20x + 3 = (5x)^2 + 2 * 5x * 2 + 2^2 - 1 = (5x + 2)^2 - 1$
д) $4x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x + 2,5) = 2(x^2 + 2x + 1 + 1,5) = 2(x + 1)^2 + 2 * 1,5 = 2(x + 1)^2 + 3$
е) $9x^2 + 18x + 4 = (3x)^2 + 2 * 3x * 3 + 3^2 - 3^2 + 4 = (3x + 3)^2 - 9 + 4 = (3x + 3)^2 - 5$
ж) $2x^2 + 4x + 5 = 2(x^2 + 2x + 2,5) = 2(x^2 + 2x + 1 + 1,5) = 2(x + 1)^2 + 2 * 1,5 = 2(x + 1)^2 + 3$
з) $5x^2 + 20x + 1 = 5(x^2 + 4x + \frac{1}{5}) = 5(x^2 + 4x + 4 - 4 + \frac{1}{5}) = 5(x + 2)^2 + 5(-4 + \frac{1}{5}) = 5(x + 2)^2 + 5 * (-3\frac{4}{5}) = 5(x + 2)^2 - 5 * \frac{19}{5} = 5(x + 2)^2 - 19$
и) $3x^2 - 12x + 16 = 3(x^2 - 4x + \frac{16}{3}) = 3(x^2 - 4x + 4 - 4 + 5\frac{1}{3}) = 3(x - 2)^2 + 3(5\frac{1}{3} - 4) = 3(x - 2)^2 + 3 * 1\frac{1}{3} = 3(x - 2)^2 + 3 * \frac{4}{3} = 3(x - 2)^2 + 4$
к) $6x^2 - 24x + 1 = 6(x^2 - 4x) + 1 = 6(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = 6(x - 2)^2 - 6 * 4 + 1 = 6(x - 2)^2 - 24 + 1 = 6(x - 2)^2 - 23$
Задание 371
Докажите, что для любого числа x верно неравенство:
а) $x^2 + 2x + 1 ≥ 0$;
б) $x^2 + 4x + 4 ≥ 0$;
в) $x^2 - 6x + 9 ≥ 0$;
г) $x^2 - 8x + 16 ≥ 0$.
Решение
а) $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 ≥ 0$ − верно при любых значениях x.
б) $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 ≥ 0$ − верно при любых значениях x.
в) $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 ≥ 0$ − верно при любых значениях x.
г) $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 ≥ 0$ − верно при любых значениях x.
Задание 372
Докажите, что для любого числа x верно неравенство:
а) $x^2 + 2x + 2 > 0$;
б) $x^2 + 4x + 5 > 0$;
в) $x^2 - 6x + 11 > 0$;
г) $x^2 - 8x + 17 > 0$.
Решение
а) $x^2 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)^2 + 1 > 0$ − верно при любых значениях x.
б) $x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + 4+ 1 = (x + 2)^2 + 1 > 0$ − верно при любых значениях x.
в) $x^2 - 6x + 11 = x^2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)^2 + 2 > 0$ − верно при любых значениях x.
г) $x^2 - 8x + 17 = x^2 - 8x + 16 + 1 = (x - 4)^2 + 1 > 0$ − верно при любых значениях x.
Задание 373
Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство:
а) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 ≥ 0$;
б) $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 ≥ 0$;
в) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 ≥ 0$;
г) $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 ≥ 0$.
Решение
а) $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 20 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = (x - 4)^2 + (y + 2)^2 ≥ 0$ − верно для любых чисел x и y.
б) $x^2 + y^2 + 12x - 6y + 45 = x^2 + 12x + 36 + y^2 - 6y + 9 = (x + 6)^2 + (y - 3)^2 ≥ 0$ − верно для любых чисел x и y.
в) $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 34 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 10y + 25 = (x - 3)^2 + (y + 5)^2 ≥ 0$ − верно для любых чисел x и y.
г) $x^2 + y^2 + 10x - 10y + 50 = x^2 + 10x + 25 + y^2 - 10y + 25 = (x + 5)^2 + (y - 5)^2 ≥ 0$ − верно для любых чисел x и y.
Ответы к теме 6.4. Разность квадратов
Задание 374
Запишите и прочитайте формулу разности квадратов.
Решение
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Разность квадратов двух чисел равно произведению суммы этих чисел и их разности.
Задание 375
Заполните пропуски, применив формулу разности квадратов:
а) (x − y)(x + y) = ...;
б) $m^2 - n^2 = ... $.
Решение
а) $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
б) $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$
