Задание 295
Выполните умножение:
а) (5m + 7n)(2n + 4m);
б) (12a + b)(3a + 5b);
в) (2x − 3y)(2x + 3y);
г) (5m − 2n)(3n − 5m);
д) (−a − b)(2a − 3b);
е) (−7x − 4y)(−5x + 7y);
ж) $(a^2 + b^2)(a^2 + b^2)$;
з) $(mn^3 - m^2)(m - 1)$;
и) $(2x^2 - y^2)(y^2 + 2x^3)$;
к) $(xy^2 + 3a^2)(3xy + a^3)$.
Решение
а) $(5m + 7n)(2n + 4m) = 10mn + 14n^2 + 20m^2 + 28mn = 20m^2 + 38mn + 14n^2$
б) $(12a + b)(3a + 5b) = 36a^2 + 3ab + 60ab + 5b^2 = 36a^2 + 63ab + 5b^2$
в) $(2x - 3y)(2x + 3y) = 4x^2 - 6xy + 6xy - 9y^2 = 4x^2 - 9y^2$
г) $(5m - 2n)(3n - 5m) = 15mn - 6n^2 - 25m^2 + 10mn = 25mn - 6n^2 - 25m^2$
д) $(-a - b)(2a - 3b) = -2a^2 - 2ab + 3ab + 3b^2 = 3b^2 - 2a^2 + ab$
е) $(-7x - 4y)(-5x + 7y) = 35x^2 + 20xy - 49xy - 28y^2 = 35x^2 - 29xy - 28y^2$
ж) $(a^2 + b^2)(a^2 + b^2) = a^4 + a^2b^2 + a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
з) $(mn^3 - m^2)(m - 1) = m^2n^3 - m^3 - mn^3 + m^2$
и) $(2x^2 - y^2)(y^2 + 2x^3) = 2x^2y^2 - y^4 + 4x^5 - 2x^3y^2$
к) $(xy^2 + 3a^2)(3xy + a^3) = 3x^2y^3 + 9a^2xy + a^3xy^2 + 3a^5$
Задание 296
Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида:
а) (a + 1)(a + 1)(a + 1);
б) (x − 1)(x − 1)(x − 1);
в) (a + b)(a − b)(a + b);
г) (m − n)(m − n)(m + n);
д) (a + b + c)(a + 1);
е) (a − b − c)(a − 1);
ж) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$;
з) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$;
и) $(x^3 + 2x - 3)(2 - 3x)$;
к) $(5m^2 - 3mn + n^2)(2n - m^2)$;
л) (a + b + c)(a + b − c);
м) (a − b + c)(a − b − c).
Решение
а) $(a + 1)(a + 1)(a + 1) = (a^2 + a + a + 1)(a + 1) = (a^2 + 2a + 1)(a + 1) = a^3 + 2a^2 + a + a^2 + 2a + 1 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$
б) $(x - 1)(x - 1)(x - 1) = (x^2 - x - x + 1)(x - 1) = (x^2 - 2x + 1)(x - 1) = x^3 - 2x^2 + x - x^2 + 2x - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
в) $(a + b)(a - b)(a + b) = (a^2 + ab - ab - b^2)(a + b) = (a^2 - b^2)(a + b) = a^3 - ab^2 + a^2b - b^3$
г) $(m - n)(m - n)(m + n) = (m^2 - mn - mn + n^2)(m + n) = (m^2 - 2mn + n^2)(m + n) = m^3 - 2m^2n + mn^2 + m^2n - 2mn^2 + n^3 = m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$
д) $(a + b + c)(a + 1) = a^2 + ab + ac + a + b + c$
е) $(a - b - c)(a - 1) = a^2 - ab - ac - a + b + c$
ж) $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$
з) $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$
и) $(x^3 + 2x - 3)(2 - 3x) = 2x^3 + 4x - 6 - 3x^4 - 6x^2 + 9x = -3x^4 + 2x^3 - 6x^2 + 13x - 6$
к) $(5m^2 - 3mn + n^2)(2n - m^2) = 10m^2n - 6mn^2 + 2n^3 - 5m^4 + 3m^3n - m^2n^2$
л) $(a + b + c)(a + b - c) = a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc - ac - bc - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$
м) $(a - b + c)(a - b - c) = a^2 - ab + ac - ab + b^2 - bc - ac + bc - c^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2$
Задание 297
Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида:
а) −(a + b)(a + b);
б) −(x − y)(x + y);
в) −(x − y)(x − y);
г) −(2m − n)(n − 3m);
д) −(5a − 2b)(3b + 2a);
е) −7(x + 8y)(y − 3x).
Решение
а) $-(a + b)(a + b) = -(a^2 + ab + ab + b^2) = -(a^2 + 2ab + b^2) = -a^2 - 2ab - b^2$
б) $-(x - y)(x + y) = -(x^2 - xy + xy - y^2) = -(x^2 - y^2) = -x^2 + y^2$
в) $-(x - y)(x - y) = -(x^2 - xy - xy + y^2) = -(x^2 - 2xy + y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$
г) $-(2m - n)(n - 3m) = -(2mn - n^2 - 6m^2 + 3mn) = -(-n^2 - 6m^2 + 5mn) = n^2 + 6m^2 - 5mn$
д) $-(5a - 2b)(3b + 2a) = -(15ab - 6b^2 + 10a^2 - 4ab) = -(10a^2 + 11ab - 6b^2) = -10a^2 - 11ab + 6b^2$
е) $-7(x + 8y)(y - 3x) = -7(xy + 8y^2 - 3x^2 - 24xy) = -7(8y^2 - 3x^2 - 23xy) = -56y^2 + 21x^2 + 161xy$
Задание 298
Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида:
а) (8x − 3)(4x + 5);
б) 8x − 3 * 4x + 5;
в) (4a − 3) * 2a − 3;
г) 4a − 3(2a − 3).
Решение
а) $(8x - 3)(4x + 5) = 32x^2 - 12x + 40x - 15 = 32x^2 + 28x - 15$
б) 8x − 3 * 4x + 5 = 8x − 12x + 5 = −4x + 5
в) $(4a - 3) * 2a - 3 = 8a^2 - 6a - 3$
г) 4a − 3(2a − 3) = 4a − 6a + 9 = −2a + 9
Задание 299
Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида:
а) (0,1 − x)(x + 0,1);
б) (1,2 − a)(1,2 + a);
в) $(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{2}m - 3)$;
г) $(\frac{1}{5}a - \frac{3}{7}b)(14a + b)$;
д) (0,05y − 2,3x)(y − 0,2x);
е) (2,5a + 3b)(0,1b − 4a);
ж) $(\frac{2}{3}m + 3n)(6m - \frac{1}{6}n)$;
з) $(1\frac{1}{2}x - y)(2\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}x)$.
Решение
а) $(0,1 - x)(x + 0,1) = 0,1x - x^2 + 0,01 - 0,1x = -x^2 + 0,01$
б) $(1,2 - a)(1,2 + a) = 1,44 - 1,2a + 1,2a - a^2 = 1,44 - a^2$
в) $(\frac{1}{3} - m)(\frac{1}{2}m - 3) = \frac{1}{6}m - \frac{1}{2}m^2 - 1 + 3m = 3\frac{1}{6}m - \frac{1}{2}m^2 - 1$
г) $(\frac{1}{5}a - \frac{3}{7}b)(14a + b) = 2\frac{4}{5}a^2 - 6ab + \frac{1}{5}ab - \frac{3}{7}b^2 = 2\frac{4}{5}a^2 - 5\frac{4}{5}ab - \frac{3}{7}b^2$
д) $(0,05y - 2,3x)(y - 0,2x) = 0,05y^2 - 2,3xy - 0,01xy + 0,46x^2 = 0,05y^2 - 2,31xy + 0,46x^2$
е) $(2,5a + 3b)(0,1b - 4a) = 0,25ab + 0,3b^2 - 10a^2 - 12ab = 0,3b^2 - 10a^2 - 11,75ab$
ж) $(\frac{2}{3}m + 3n)(6m - \frac{1}{6}n) = 4m^2 + 18mn - \frac{1}{9}mn - \frac{1}{2}n^2 = 4m^2 + 17\frac{8}{9}mn - \frac{1}{2}n^2$
з) $(1\frac{1}{2}x - y)(2\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}x) = (\frac{3}{2}x - y)(\frac{7}{3}y - \frac{1}{3}x) = \frac{7}{2}xy - \frac{7}{3}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}xy = \frac{21}{6}xy - \frac{7}{3}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{6}xy = \frac{23}{6}xy - \frac{7}{3}y^2 - \frac{1}{2}x^2 = 3\frac{5}{6}xy - 2\frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{2}x^2$
Задание 300
Преобразуйте произведение многочленов в многочлен стандартного вида:
а) $(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$;
б) (a − b + c)(a + b − c);
в) $(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2)$.
Решение
а) $(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) = a^3 + 2a^2b - 2a^2b - 4ab^2 + 4ab^2 + 8b^3 = a^3 + 8b^3$
б) $(a - b + c)(a + b - c) = a^2 - ab + ac + ab - b^2 + bc - ac + bc - c^2 = a^2 + 2bc - b^2 - c^2$
в) $(a + 2b)(a - 2b)(a^2 + 4b^2) = (a^2 + 2ab - 2ab - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = a^4 - 4a^2b^2 + 4a^2b^2 - 16b^4 = a^4 - 16b^4$
Задание 301
Докажите равенство:
а) $(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c)a + bc$;
б) $2x^2 - 11x + 15 = (x - 3)(2x - 5)$.
Решение
а) Преобразуем левую часть равенства:
$(a + b)(a + c) = a^2 + ab + ac + bc$
Преобразуем правую часть равенства:
$a^2 + (b + c)a + bc = a^2 + ab + ac + bc$
Левая и правая части равенства одинаковы, поэтому:
$(a + b)(a + c) = a^2 + (b + c)a + bc$
б) Преобразуем правую часть равенства:
$(x - 3)(2x - 5) = 2x^2 - 6x - 5x + 15 = 2x^2 - 11x + 15$
Левая и правая части равенства одинаковы, поэтому:
$2x^2 - 11x + 15 = (x - 3)(2x - 5)$
Задание 302
Верно ли выполнены преобразования:
а) $(2x + 3y)(3x - 2y) = 6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2 = 6x^2 + 5xy - 6y^2$;
б) $(xy^2 + x^2y)(xy + 3) = x^2y^3 + 3xy^2 + x^3y^2 + 3x^2y$?
Решение
а) Преобразования выполнены верно.
б) Преобразования выполнены верно.
Задание 303
Вместо звездочки подберите одночлен, чтобы выполнялось равенство:
а) $(a + *)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2$;
б) $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - * + a^2$.
Решение
а) $(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2$
б) $9 - 3a - 3a + a^2 = 9 - 6a + a^2$
Задание 304
Пользуясь рисунком 12, докажите, что для a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 верно равенство
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.
Решение
a + b − ширина всего прямоугольника;
c + d − длина всего прямоугольника;
(a + b)(c + d) − площадь всего прямоугольника;
ac − площадь левой нижней части прямоугольника;
bc − площадь левой верхней части прямоугольника;
ad − площадь правой нижней части прямоугольника;
bd − площадь правой верхней части прямоугольника.
Площадь всего прямоугольника равна сумме площадей его частей, следовательно:
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd
Равенство верно.
