Задание № 687

Являются ли взаимно простыми числа:
а) 12 и 25;
б) 40 и 39;
в) 55 и 42;
г) 22 и 51;
д) 48 и 49;
е) 39 и 50;
ж) 17 и 48;
з) 11 и 45;
и) 13 и 50?
Найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение

а)
$\begin{array}{r|l}12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 12 и 25 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(12,25)=5^2\ast2^2\ast3=300$

б) Числа 40 и 39 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (40, 39) = 40 * 39 = 1560

в)
$\begin{array}{r|l}55&5\\11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$
Числа 55 и 42 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (55,42) = 5 * 11 * 2 * 3 * 7 = 2310

г)
$\begin{array}{r|l}22&2\\11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}51&3\\17&17\\1&\end{array}$
Числа 22 и 51 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
НОК (22, 51) = 2 * 11 * 3 * 17 = 1122

д) 48 и 49 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (48, 49) = 48 * 49 = 2352

е)
$\begin{array}{r|l}39&3\\13&13\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 39 и 50 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(39,50)=3\ast13\ast2\ast5^2=1950$

ж)
$\begin{array}{r|l}17&17\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
Числа 17 и 48 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(17,48)=17\ast2^4\ast3=816$

з)
$\begin{array}{r|l}11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 11 и 45 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(11,45)=11\ast3^2\ast5=495$

и)
$\begin{array}{r|l}13&13\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 13 и 50 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(13,50)=13\ast2\ast5^2=650$

Задание № 688

Найдите:
а) НОК (4, 5);
б) НОК (3, 11);
в) НОК (7, 8);
г) НОК (9, 10);
д) НОК (5, 13);
е) НОК (17, 3);
ж) НОК (13, 11);
з) НОК (10, 11);
и) НОК (19, 20).

Решение

а) 4 и 5 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (4, 5) = 4 * 5 = 20

б) 3 и 11 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (3, 11) = 3 * 11 = 33

в) 7 и 8 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (7, 8) = 7 * 8 = 56

г) 9 и 10 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (9, 10) = 9 * 10 = 90

д) 5 и 13 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (5, 13) = 5 * 13 = 65

е) 17 и 3 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (17, 3) = 17 * 3 = 51

ж) 13 и 11 − простые числа, а два различных числа являются взаимно простыми.
НОК (13, 11) = 13 * 11 = 143

з) 10 и 11 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (10, 11) = 10 * 11 = 110

и) 19 и 20 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (19, 20) = 19 * 20 = 380

Задание № 689

Напишите пять пар чисел a и b, что НОК (a, b) = a.

Решение

1) a = 4, b = 2;
2) a = 16, b = 8;
3) a = 28, b = 4;
4) a = 35, b = 5;
5) a = 100, b = 10.

Задание № 690

Найдите:
а) НОК (36, 48);
б) НОК (49, 50);
в) НОК (14, 15);
г) НОК (99, 100);
д) НОК (28, 21);
е) НОК (24, 23).

Решение

а)
$\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&3\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
$36=2^2\ast3^2$
$48=2^4\ast3$
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(36,48)=2^4\ast3^2=144$

б) 49 и 50 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (49, 50) = 49 * 50 = 2450

в) 14 и 15 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (14, 15) = 14 * 15 = 210

г) 99 и 100 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (99, 100) = 99 * 100 = 9900

д)
$\begin{array}{r|l}28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}21&3\\7&7\\1&\end{array}$
$28=2^2\ast7$
21 = 3 * 7
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(28,21)=2^2\ast7\ast3=84$

е) 23 и 24 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.
НОК (24, 23) = 24 * 23 = 552

Задание № 691

Найдите:
а) НОК (19, 10);
б) НОК (11, 110);
в) НОК (26, 52);
г) НОК (11, 23);
д) НОК (88, 66);
е) НОК (198, 9).

Решение

а)
$\begin{array}{r|l}19&19\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}10&2\\5&5\\1&\end{array}$
19 = 1 * 19;
10 = 1 * 2 * 5;
НОК (19, 10) = 2 * 5 * 19 = 190.

б) 110 = 11 * 10;
НОК (11, 110) = 110.

в) 52 = 26 * 2;
НОК (26, 52) = 52.

г) НОК (11, 23) = 11 * 23 = 253

д)
$\begin{array}{r|l}88&2\\44&2\\22&2\\11&11\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}66&2\\33&3\\11&11\\1&\end{array}$
$88=2^3\ast11$
66 = 2 * 3 * 11
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(88,66)=2^3\ast11\ast3=264$

е) 198 = 9 * 22;
НОК (198, 9) = 198.

Задание № 692

Ученица нашла НОК (33, 198) и получила 99. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?

Решение

Полученный результат должен делиться на оба числа, а 99 на 198 не делится, так как 99 < 198.

Задание № 693

Объясните, почему наименьшее общее кратное двух чисел:
а) не может быть меньше любого из этих чисел;
б) делится на все делители этих чисел.

Решение

а) Если наименьшее общее кратное будет меньше одного из данных чисел, то оно будет делиться на это число (нельзя разделить нацело меньшее число на большее), а значит, наименьшее общее кратное двух чисел не может быть меньше одного из этих чисел.

б) Наименьшее общее кратное делится на каждое из двух данных чисел, поэтому оно делится на все делители этих чисел.

Задание № 694

Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a, b) и НОК (a, b).
а) $a=2^3\ast3^4\ast5$
$b=2^4\ast3^5\ast5^2$
б) $a=2^2\ast3^3\ast5^2$
$b=3^2\ast5^3$
(Для решения задачи достаточно составить произведение и не вычислять его.)

Решение

Задание № 695

Убедитесь, что НОД (36, 24) * НОК (36, 24) = 36 * 24. Выполняется ли это свойство для других пар чисел?

Решение

$\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname Д}(36,24)=2^2\ast3=12$
${\operatorname Н}{\operatorname О}{\operatorname К}(36,24)=2^3\ast3^2=72$
НОД (36, 24) * НОК (36, 24) = 12 * 72 = 954 = 36 * 24

Задание № 696

Докажите, что НОД (a, b) * НОК (a, b) = a * b:
а) для взаимно простых чисел;
б) для любых чисел.

Решение

а) Пусть a и b − простые числа, тогда:
НОД (a, b) = 1, а НОК (a, b) = a * b.
НОД (a, b) * НОК (a, b) = 1 * a * b = a * b − что и требовалось доказать.

б) Пусть a и b − натуральные числа, тогда:
НОД (a, b) = n, а НОК (a, b) = m.
a = x * n (где x − натуральное число);
b = y * n (где y − натуральное число);
m = x * y * n;
НОД (a, b) * НОК (a, b) = n * m = n * x * y * n = (x * n) * (y * n) = a * b − что и требовалось доказать.

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)