Задание № 662

а) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры взаимно простых чисел.
б) Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?
в) Известно, что число a делится нацело на число b. Чему равен НОД (a, b)?

Решение

а) Взаимно простыми числами называют числа, не имеющие общих простых делителей. Например, числа 57 и 46 взаимно простые:
НОД (57, 46) = 1

б) Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.

в) НОД (a, b) = b

Задание № 663

Найдите все делители чисел 45 и 60. Найдите все общие делители чисел 45 и 60.

Решение

$\begin{array}{r|l}45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

$\begin{array}{r|l}60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
Делители числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Общие делители 45 и 60: 1, 3, 5, 15.

Задание № 664

Найдите:
а) НОД (30, 36);
б) НОД (50, 45);
в) НОД (42, 48);
г) НОД (120, 150);
д) НОД (124, 93);
е) НОД (46, 69).

Решение

а)
$\begin{array}{r|l}30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$
30 = 1 * 2 * 3 * 5;
30 = 1 * 2 * 2 * 3 * 3;
НОД (30, 36) = 1 * 2 * 3 = 6.

б)
$\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$
50 = 1 * 2 * 5 * 5;
45 = 1 * 3 * 3 * 5;
НОД (50, 45) = 1 * 5 = 5.

в)
$\begin{array}{r|l}42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
42 = 1 * 2 * 3 * 7;
48 = 1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3;
НОД (42, 48) = 1 * 2 * 3 = 6.

г)
$\begin{array}{r|l}120&2\\60&3\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}150&2\\75&3\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$
120 = 1 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5;
150 = 1 * 2 * 3 * 5 * 5;
НОД (120, 150) = 1 * 2 * 3 * 5.

д)
$\begin{array}{r|l}124&2\\62&2\\31&31\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}93&3\\31&31\\1&\end{array}$
124 = 1 * 2 * 2 * 31;
93 = 1 * 3 * 31;
НОД (124, 93) = 1 * 31 = 31.

е)
$\begin{array}{r|l}46&2\\23&23\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}69&3\\23&23\\1&\end{array}$
46 = 1 * 2 * 23;
69 = 1 * 3 * 23;
НОД (46, 69) = 1 * 23 = 23.

Задание № 665

Найдите:
а) НОД (24, 48);
б) НОД (62, 31);
в) НОД (132, 11);
г) НОД (256, 32);
д) НОД (45, 15);
е) НОД (21, 63).

Решение

а) 48 = 24 * 2;
НОД (24, 48) = 24.

б) 62 = 31 * 2;
НОД (62, 31) = 31.

в) 132 = 11 * 12;
НОД (132, 11) = 11.

г) 256 = 32 * 8;
НОД (256, 32) = 32.

д) 45 = 15 * 3;
НОД (45, 15) = 15.

е) 63 = 21 * 3;
НОД (21, 63) = 21.

Задание № 666

Число 12321 делится на 111. Найдите НОД (12321, 111).

Решение

$12321=111^2$
НОД (12321, 111) = 111

Задание № 667

Найдите:
а) НОД (14, 7);
б) НОД (26, 13);
в) НОД (48, 8);
г) НОД (64, 16);
д) НОД (45, 9);
е) НОД (11, 66).

Решение

а) 14 = 7 * 2;
НОД (14, 7) = 7.

б) 26 = 13 * 2;
НОД (26, 13) = 13.

в) 48 = 8 * 6;
НОД (48, 8) = 8.

г) 64 = 16 * 4;
НОД (64, 16) = 16.

д) 45 = 9 * 5;
НОД (45, 9) = 9.

е) 66 = 11 * 6;
НОД (11, 66) = 11.

Задание № 668

С помощью разложения чисел на простые множители докажите, что являются взаимно простыми числа:
а) 24 и 35;
б) 56 и 99;
в) 63 и 88;
г) 12 и 25;
д) 32 и 33.

Решение

а)
$\begin{array}{r|l}24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}35&5\\7&7\\1&\end{array}$
Числа 24 и 35 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.

б)
$\begin{array}{r|l}56&2\\28&2\\14&2\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}99&3\\33&3\\11&11\\1&\end{array}$
Числа 56 и 99 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.

в)
$\begin{array}{r|l}63&3\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}88&2\\44&2\\22&2\\11&11\\1&\end{array}$
Числа 63 и 88 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.

г)
$\begin{array}{r|l}12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}25&5\\5&5\\1&\end{array}$
Числа 12 и 25 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.

д)
$\begin{array}{r|l}32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}33&3\\11&11\\1&\end{array}$
Числа 32 и 33 не имеют общих простых делителей, а значит, являются взаимно простыми.

Задание № 669

Найдите:
а) НОД (13, 5);
б) НОД (3, 11);
в) НОД (29, 19);
г) НОД (54, 55);
д) НОД (62, 63);
е) НОД (98, 99).

Решение

а) 13 и 5 − простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (13, 5) = 1.

б) 3 и 11 − простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (3, 11) = 1.

в) 29 и 19 − простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (29, 19) = 1.

г) 54 и 55 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (54, 55) = 1.

д) 62 и 63 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (62, 63) = 1.

е) 98 и 99 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (98, 99) = 1.

Задание № 670

Докажите, что два простых числа являются взаимно простыми.

Решение

Простое число − число, которое делится только на 1 и на само себя. Поэтому у любых двух простых чисел имеется только один общий делитель − число 1. Поэтому эти числа взаимно простые.

Задание № 671

Докажите, что два соседних натуральных числа являются взаимно простыми.

Решение

Разность двух соседних натуральных чисел равна 1. Если предположить, что эти числа имеют общий делитель, отличный от 1, то на него должно делиться число 1. Но 1 не делится ни на одно натуральное число, отличное от 1. Поэтому два соседних натуральных числа взаимно простые.

Задание № 672

Придумайте пять пар таких чисел a и b, чтобы НОД (a, b) = 1.

Решение

1) 2 и 13;
2) 12 и 13;
3) 5 и 7;
4) 25 и 26;
5) 19 и 47.

Задание № 673

Найдите:
а) НОД (320, 40);
б) НОД (233, 79);
в) НОД (278; 279);
г) НОД (484, 44);
д) НОД (84, 96);
е) НОД (100; 175).

Решение

а) 320 = 40 * 8;
НОД (320, 40) = 40.

б) 233 и 79 − простые числа, а два различных простых числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (233, 79) = 1.

в) 278 и 279 − соседние числа в ряду натуральных чисел, а два соседних натуральных числа являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей кроме 1;
НОД (278; 279) = 1.

г) 484 = 44 * 11;
НОД (484, 44) = 44.

д)
$\begin{array}{r|l}84&2\\42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}96&2\\48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$
84 = 1 * 2 * 2 * 3 * 7;
96 = 1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3;
НОД (84, 96) = 1 * 2 * 2 * 3 = 12.

е)
$\begin{array}{r|l}100&2\\50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}$ $\begin{array}{r|l}175&5\\35&5\\7&7\\1&\end{array}$
100 = 1 * 2 * 2 * 5 * 5;
175 = 1 * 5 * 5 * 7;
НОД (100; 175) = 1 * 5 * 5 = 25.

Задание № 674

Ученик нашел НОД (33, 198) и получил 66. Не проверяя вычислений, учитель определил, что была допущена ошибка. Как он это сделал?

Решение

На полученный результат должны делится оба числа, а 33 на 66 не делится, так как 33 < 66.

 

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)