Задание № 625
Докажите признак делимости на 4: если две последние цифры числа образуют число, делящееся на 4, то и само число делится на 4. (Считайте записи 00, 04 и 08 записями чисел 0, 4 и 8).
Решение
Если две последние цифры числа образуют число, которое делится на 4, то при вычитании его из числа получим новое число, которое заканчивается на 00, а значит, делится на 100. А если число делится на 100, то делится и на 4, так как 100 делится на 4 (100 = 25 * 4).
Таким образом, изначальное число можно представить в виде суммы двух чисел, делящихся на 4 (1−е, которое оканчивается на 00 и 2−е − двузначное, которое делится на 4).
Значит, изначальное число делится на 4.
Задание № 626
Какие из чисел:
7928;
3553;
1996;
1795;
7568936;
1000;
5700 делятся на 4?
Решение
7928 : 4 = 7900 : 4 + 28 : 4;
1996 : 4 = 1900 : 4 + 96 : 4;
7568936 : 4 = 7568900 : 4 + 36 : 4;
1000 : 4;
5700 : 4.
Ответ: 7928; 1996; 7568936; 1000; 5700.
Задание № 627
Используя признак делимости на 4, определите четыре первых високосных года XXI века.
Решение
XXI век начался с 2001 года, значит високосные года:
2004; 2008; 2012; 2016.
Задание № 628
Не выполняя сложения, определите, каким числом (четным или нечетным) является сумма:
а) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15;
б) 5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65;
в) 9 + 29 + 49 + 69 + 89 + 109 + 129 + 149 + 169.
Решение
а) сумма является четным числом, так как складывается четное количество нечетных чисел.
б) сумма является нечетным числом, так как складывается нечетное количество нечетных чисел.
в) сумма является нечетным числом, так как складывается нечетное количество нечетных чисел.
Задание № 629
Докажите, что нельзя подобрать:
а) три нечетных числа, сумма которых равна 12;
б) пять нечетных чисел, сумма которых равна 100.
Решение
а) Пусть:
2a + 1 − первое нечетное число;
2b + 1 − второе нечетное число;
2c + 1 − третье нечетное число, тогда их сумма:
2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 = (2a + 2b + 2c + 2) + 1 = 2(a + b + c + 1) + 1 − получается, что к четному числу 2(a + b + c + 1) прибавляется 1, значит число 2(a + b + c + 1) + 1 − нечетное, а число 12 четное. Значит подобрать три нечетных числа, сумма которых равна 12 нельзя.
б) Пусть:
2a + 1 − первое нечетное число;
2b + 1 − второе нечетное число;
2c + 1 − третье нечетное число;
2d + 1 − четвертое нечетное число;
2e + 1 − пятое нечетное число, тогда их сумма:
2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 + 2d + 1 + 2e + 1 = (2a + 2b + 2c + 2d + 2e + 4) + 1 = 2(a + b + c + d + e + 2) + 1 − получается, что к четному числу 2(a + b + c + d + e + 2) прибавляется 1, значит число 2(a + b + c + d + e + 2) + 1 − нечетное, а число 100 четное. Значит подобрать пять нечетных чисел, сумма которых равна 100 нельзя.
Задание № 630
Докажите, что:
а) сумма четного числа нечетных слагаемых четная;
б) сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетная.
Решение
а) Возьмем четное количество нечетных чисел, например 2 числа, тогда пусть:
2a + 1 − первое нечетное число;
2b + 1 − второе нечетное число, тогда их сумма:
2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) − четное число, так как делится на 2.
Получается, что если количество нечетных слагаемых четное, то их всегда можно сгруппировать по парам. Сумма пар будет четным числом, а сумма образовавшихся четных чисел будет также четным числом.
б) Возьмем четное количество нечетных чисел, например 3 числа, тогда пусть:
2a + 1 − первое нечетное число;
2b + 1 − второе нечетное число;
2c + 1 − третье нечетное число, тогда их сумма:
2a + 1 + 2b + 1 + 2c + 1 = (2a + 2b + 2c + 2) + 1 = 2(a + b + c + 1) + 1 − получается, что к четному числу 2(a + b + c + 1) прибавляется 1, значит число 2(a + b + c + 1) + 1 − нечетное. Получается, что если количество нечетных слагаемых нечетное, то их нельзя сгруппировать по парам, так как останется одно нечетное слагаемое без пары. А сумма четного и нечетного числе будет нечетной.
