Задание №739
Разложите на множители:
1) x 4 − 5 x2 + 4;
2) x4 + x2 + 1;
3) 4 x4 − 12 x2 + 1;
4) x5 + x + 1;
5) x4 + 4;
6) x8 + x4 − 2.
Решение:
1) x4 − 5 x2 + 4 = x4 − 5 x2 + 6, 25 − 2, 25 = ( x4 − 5 x2 + 6, 25 ) − 2, 25 = ( x2 − 2, 5 )2 − 1, 52 = ( x2 − 2, 5 − 1, 5 ) ( x2 − 2, 5 + 1, 5 ) = ( x2 − 4 ) ( x2 − 1 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 1 )
2) x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + 1 + x2 − x2 = ( x4 + 2 x2 + 1 ) − x2 = ( x2 + 1 )2 − x2 = ( x2 + 1 − x ) ( x2 + 1 + x )
3) 4 x4 − 12 x2 + 1 = 4 x4 − 16 x2 + 4 x2 + 1 = ( 4 x4 + 4 x2 + 1 ) − 16 x2 = ( 2 x2 + 1 )2 − ( 4 x )2 = ( 2 x2 + 1 − 4 x ) ( 2 x2 + 1 + 4 x )
4) x5 + x + 1 = x5 + x + 1 + x2 − x2 = ( x5 − x2 ) + ( x2 + x + 1 ) = x2 ( x3 − 1 ) + ( x2 + x + 1 ) = x2 ( x − 1 ) ( x2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 ) = ( x2 + x + 1 ) ( x2 ( x − 1 ) + 1 ) = ( x2 + x + 1 ) ( x3 − x2 + 1 )
5) x4 + 4 = x4 + 4 + 4 x2 − 4 x2 = ( x4 + 4 x2 + 4 ) − 4 x2 = ( x2 + 2 )2 − ( 2 x )2 = ( x2 + 2 − 2 x ) ( x2 + 2 + 2 x )
6) x8 + x4 − 2 = x8 + 3 x4 − 2 x4 − 3 + 1 = ( x8 − 2 x4 + 1 ) + ( 3 x4 − 3 ) = ( x4 − 1 )2 + 3 ( x4 − 1 ) = ( x4 − 1 ) ( x4 − 1 + 3 ) = ( x4 − 1 ) ( x4 + 2 ) = ( x2 − 1 ) ( x2 + 1 ) ( x4 + 2 ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x2 + 1 ) ( x4 + 2 )
Задание №740
Представьте в виде произведения выражение:
1) x4 + 5 x2 + 9;
2) x4 − 8 x2 + 4.
Решение:
1) x4 + 5 x2 + 9 = x4 + 6 x2 − x2 + 9 = ( x4 + 6 x2 + 9 ) − x2 = ( x2 + 3 )2 − x2 = ( x2 + 3 − x ) ( x2 + 3 + x )
2) x4 − 8 x2 + 4 = x4 − 4 x2 − 4 x2 + 4 = ( x4 − 4 x2 + 4 ) − 4 x2 = ( x2 − 2 )2 − ( 2 x )2 = ( x2 − 2 − 2 x ) ( x2 − 2 + 2 x )
Задание №741
Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения
n4 + n2 + 1 является составном числом.
Решение:
n4 + n2 + 1 = n4 + 2 n2 − n2 + 1 = ( n4 + 2 n2 + 1 ) − n2 = ( n2 + 1 ) − n2 = ( n2 − 1 − n ) ( n2 − 1 + n ) − число составное.
Задание №742
Даны три числа, из которых каждое следующее на 4 больше предыдущего. Найдите эти числа, если произведение меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего.
Решение:
Пусть n − первое число, тогда
(n + 4) − второе число;
(n + 8) − третье число; а произведение меньшего и большего из них на 88 меньше произведения большего и среднего.
Составим уравнение:
n(n + 8) = (n + 8)(n + 4) − 88
n2 + 8 n = n2 + 8 n + 4 n + 32 − 88
n2 − n2 + 8 n − 8 n − 4 n = 32 − 88
−4n = −56
n = −56 : −4
n = 14 − первое число;
n + 4 = 14 + 4 = 18 − второе число;
n + 8 = 14 + 8 = 22 − третье число.
Ответ: 14, 18, 22.
Задание №743
Петя сначала поднялся на гору со скоростью 2,5 км/ч, а потом спустился по другой дороге со скоростью 4 км/ч. Найдите общий путь, пройденный Петей, если дорога на гору на 3 км короче дороги с горы, а время, потраченное на весь путь составляет 4 ч.
Решение:
Пусть x км длина дороги с горы, тогда
(x − 3) км длина дороги в гору;
x/4 ч спускался Петя с горы;
(x − 3)/2, 5 ч поднимался Петя в гору; а на весь путь ушло 4 часа.
Составим уравнение:
$\frac x4+\frac{x-3}{2,5}=4$
$\frac{5x+8(x-3)}{20}=4$
5x + 8(x − 3) = 4 * 20
5x + 8x − 24 = 80
13x = 80 + 24
13x = 104
x = 104 : 13
x = 8
Значит, длина дороги с горы 8 км;
x − 3 = 8 − 3 = 5 (км) - длина дороги в гору, следовательно:
8 + 5 = 13 (км) - общий путь, пройденный Петей.
Ответ: 13 км.
Задание №744
Решите уравнение:
1) |7x − 3| = 4;
2) ||x| − 10| = 8;
3) 4(x − 2) + 5|x| = 10;
4) |x| = 3x − 8.
Решение:
1) |7x − 3| = 4
7 x1 − 3 = 4
7 x1 = 4 + 3
7 x1 = 7
x1 = 7 : 7
x1 = 1;
7 x2 − 3 = − 4
7 x2 = − 4 + 3
7 x2 = − 1
x2 = − 1/7.
2) ||x| − 10| = 8
| x | − 10 = 8
| x | = 8 + 10
| x | = 18
x1 = 18
x2 = − 18;
| x | − 10 = − 8
| x | = − 8 + 10
| x | = 2
x3 = 2
x4 = − 2.
3) 4(x − 2) + 5|x| = 10
4x − 8 + 5x = 10
4x + 5x = 10 + 8
9x = 18
x = 18 : 9
x1 = 2;
4x − 8 − 5x = 10
4x − 5x = 10 + 8
−x = 18
x2 = − 18.
4) |x| = 3x − 8
x = 3x − 8
x − 3x = −8
−2x = −8
x = −8 : −2
x1 = 4;
−x = 3x − 8
−x − 3x = −8
−4x = −8
x = −8 : −4
x2 = 2.
Задание №745
Докажите, что сумма трехзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3.
Решение:
Пусть
___
a b c = 100 a + 10 b + c трехзначное число, тогда:
100 a + 10 b + c + 2 ( a + b + c ) = 100 a + 10 b + c + 2 a + 2 b + 2 c = 102 a + 12 b + 3 c = 3 ( 34 a + 4 b + c ), следовательно сумма трехзначного числа и удвоенной суммы его цифр делится нацело на 3.
Задание №746
Вычислите значение y по формуле y = 0,2x − 3, если:
1) x = 4;
2) x = −3.
Решение:
1) y = 0,2x − 3 = 0,2 * 4 − 3 = 0,8 − 3 = −2,2
2) y = 0,2x − 3 = 0,2 * (−3) − 3 = −0,6 − 3 = −3,6
Задание №747
Найдите координаты точек A, B, C, D, E, F, K, M, N, изображенных на рисунке 7.
Решение:
A(2;2), B(5;1), C(0;−5), D(2;−3), E(−1;−1), F(−5;0), K(−4;3), M(−3;2), N(−4;−3).
