Задание №575

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) ( ∗ + b )2 = ∗ + 4 a b + b2;
2) ( 4 x − ∗ )2 = 16 x2 − ∗ + 100 y2;
3) ( ∗ − 5 c )2 = ∗ − 20 b2 c + 25 c2;
4) ( 7 a2 + ∗ )2 = ∗ + ∗ + 9 b6.

Решение:

1) ( ∗1 + b )2 = ∗2 + 4 a b + b2
1 = 4ab : 2b = 2 a;
2 = ( 2 a )2 = 4 a2, следовательно тождество будет иметь вид:
( 2 a + b )2 = 4 a2 + 4 a b + b2.

2) ( 4 x − ∗1 )2 = 16 x2 − ∗2 + 100 y2
( ∗1 )2 = 100 y2
1 = 10 y;
2 = 2 ∗ 4 x ∗ 10 y = 80 x y, следовательно тождество будет иметь вид:
( 4 x − 10 y )2 = 16 x2 − 80 x y + 100 y2.

3) ( ∗1 − 5 c )2 = ∗2 − 20 b2 c + 25 c2
1 = 20 b2 c : 2 • 5 c = 20 b2 c : 10 c = 2 b2;
2 = ( 2 b2 )2 = 4 b4, следовательно тождество будет иметь вид:
( 2 b2 − 5 c )2 = 4 b4 − 20 b2 c + 25 c2.

4) ( 7 a2 + ∗1 )2 = ∗2 + ∗3 + 9 b 6
( ∗1 )2 = 9 b6
1 = 3 b3;
2 = ( 7 a2 )2 = 49 a4;
3 = 2 ∗ 7 a2 • 3 b3 = 42 a2 b3, следовательно тождество будет иметь вид:
( 7 a2 + 3 b3 )2 = 49 a4 + 42 a2 b3 + 9 b6

Задание №576

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) ( ∗ + 6 b )2 = ∗ + 24 a b + ∗;
2) ( ∗ − ∗ )2 = 9 m4 − 42 m2 n8 + ∗.

Решение:

1) ( ∗1 + 6 b )2 = ∗2 + 24 a b + ∗ 3
1 = 24 a b : 2 • 6 b = 24 a b : 12 b = 2 a;
2 = ( 2 a )2 = 4 a2;
3 = ( 6 b )2 = 36 b2, следовательно тождество будет иметь вид:
( 2 a + 6 b )2 = 4 a2 + 24 a b + 36 b2.

2) ( ∗1 − ∗2 )2 = 9 m4 − 42 m2 n8 + ∗3
( ∗1 )2 = 9 m4
1 = 3 m2;
2 = 42 m2 n8 : 2 • 3 m2 = 42 m2 n8 : 6 m2 = 7 n8;
3 = ( 7 n8 )2 = 49 n16, следовательно тождество будет иметь вид:
( 3 m2 − 7 n8 )2 = 9 m4 − 42 m2 n8 + 49 n16.

Задание №577

Докажите тождество

( a − b )2 = ( b − a )2.

Решение:

( a − b )2 = ( b − a )2
a2 − 2 a b + b2 = b2 − 2 a b + a2
a2 − 2 a b + b2 = a2 − 2 a b + b2

Задание №578

Преобразуйте в многочлен выражение:
1) ( − x + 1 )2;
2) ( − m − 9 )2;
3) ( − 5 a + 3 b )2;
4) ( − 4 x − 8 y )2;
5) ( − 0, 7 c − 10 d )2;
6) ( − 4 a2 + 1/8 a b )2.

Решение:

1) ( − x + 1 )2 = ( 1 − x )2 = 1 − 2 x + x2

2) ( − m − 9 )2 = ( − m )2 − 2 ∗ ( − m ) ∗ 9 + 92 = m2 + 18 m + 81

3) ( − 5 a + 3 b )2 = ( 3 b − 5 a )2 = 9 b2 − 30 a b + 25 a2

4) ( − 4 x − 8 y )2 = 16 x2 + 64 x y + 64 y2

5) ( − 0, 7 c − 10 d )2 = 0, 49 c2 + 14 c d + 100 d2

6) ( − 4 a2 + 1/8 a b )2 = ( 1/8 a b − 4 a2 )2 = 1/64 a2 b2 − a3 b + 16 a4

Задание №579

Выполните возведение в квадрат:
1) ( − 3 m + 7 n )2;
2) ( − 0, 4 x − 1, 5 y )2;
3) ( − x2 − y )2;
4) ( − a2 b2 + c10 )2.

Решение:

1) ( − 3 m + 7 n )2 = ( 7 n − 3 m )2 = 49 n2 − 42 n m + 9 m2

2) ( − 0, 4 x − 1, 5 y )2 = 0, 16 x2 + 1, 2 x y + 2, 25 y2

3) ( − x2 − y )2 = x4 + 2 x2 y + y2

4) ( − a2 b2 + c10 )2 = ( c10 − a2 b2 )2 = c 20 − 2 a2 b2 c10 + a4 b4

Задание №580

Выполните возведение в квадрат:
1) ( 10 a2 − 7 a b2 )2;
2) ( 0, 8 b3 + 0, 2 b2 c4 )2;
3) ( 30 m3 n + 0, 04 n2 )2;
4) ( 0, 5 x4 y5 − 20 y6 )2;
5) ( 1_1/3 a2 b + 2_1/4 a b2 )2;
6) ( 2_1/3 x3 y2 − 9/14 y8 x )2;
7) ( 15 m9 + 5/6 m3 )2;
8) ( 3_1/8 x8 y10 + 16/25 x2 y6 ) 2.

Решение:

1) ( 10 a2 − 7 a b2 )2 = ( 10 a2 )2 − 2 ∗ 10 a2 ∗ 7 a b2 + ( 7 a b2 )2 = 100 a4 − 140 a3 b2 + 49 a2 b4

2) ( 0, 8 b3 + 0, 2 b2 c4 )2 = ( 0, 8 b3 )2 + 2 ∗ 0, 8 b3 ∗ 0, 2 b2 c4 + ( 0, 2 b2 c4 )2 = 0, 64 b6 + 0, 32 b5 c4 + 0, 04 b4 c8

3) ( 30 m3 n + 0, 04 n2 )2 = ( 30 m3 n )2 + 2 ∗ 30 m3 n ∗ 0, 04 n2 + ( 0, 04 n2 )2 = 900 m6 n2 + 2, 4 m3 n3 + 0, 0016 n4

4) ( 0, 5 x4 y5 − 20 y6 )2 = ( 0, 5 x4 y5 )2 − 2 ∗ 0, 5 x4 y5 ∗ 20 y6 + ( 20 y6 )2 = 0, 25 x8 y10 − 20 x4 y11 + 400 y12

5) $(1\frac13a^2b+2\frac14ab^2)^2=(\frac43a^2b)^2+2\ast\frac43a^2b\ast\frac94ab^2+(\frac94ab^2)^2=\frac{16}9a^4b^2+2\ast\frac11a^2b\ast\frac31ab^2+\frac{81}{16}a^2b^4=1\frac79a^4b^2+6a^3b^3+5\frac1{16}a^2b^4$

6) $(2\frac13x^3y^2-\frac9{14}y^8x)^2=(\frac73x^3y^2)^2-2\ast\frac73x^3y^2\ast\frac9{14}y^8x+(\frac9{14}y^8x)^2=\frac{49}9x^6y^4-1\ast\frac11x^3y^2\ast\frac31y^8x+\frac{81}{196}y^{16}x^2=\frac{49}9x^6y^4-3x^4y^{10}+\frac{81}{196}y^{16}x^2=5\frac49x^6y^4-3x^4y^{10}+\frac{81}{196}y^{16}x^2$

7) $(15m^9+\frac56m^3)^2=(15m^9)^2+2\ast15m^9\ast\frac56m^3+(\frac56m^3)^2=225m^{18}+25m^{12}+\frac{25}{36}m^6$

8) $(3\frac18x^8y^{10}+\frac{16}{25}x^2y^6)^2=(\frac{25}8x^8y^{10})^2+2\ast\frac{25}8x^8y^{10}\ast\frac{16}{25}x^2y^6+(\frac{16}{25}x^2y^6)^2=\frac{625}{64}x^{16}y^{20}+2\ast\frac11x^8y^{10}\ast\frac21x^2y^6+\frac{256}{625}x^4y^{12}=9\frac{49}{64}x^{16}y^{20}+4x^{10}y^{16}+\frac{256}{625}x^4y^{12}$

Задание №581

Преобразуйте в многочлен выражение:
1) $6(1 - 2c)^2$;
2) $-12(x + \frac{1}{3}y)^2$;
3) $a(a - 6b)^2$;
4) $5b(b^2 + 7b)^2$;
5) $(a + 3)(a - 4)^2$;
6) $(2x + 4)^2(x - 8)$;
7) $(a - 5)^2(a + 5)^2$;
8) $(3x + 4y)^2(3x - 4y)^2$.

Решение:

1) $6(1 - 2c)^2 = 6(1 - 4c + 4c^2) = 6 - 24c + 24c^2$

2) $-12(x + \frac{1}{3}y)^2 = -12(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2) = -12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2 = -12x^2 - 8xy - 1\frac{1}{3}y^2$

3) $a(a - 6b)^2 = a(a^2 - 12ab + 36b^2) = a^3 - 12a^2b + 36ab^2$

4) $5b(b^2 + 7b)^2 = 5b(b^4 + 14b^3 + 49b^2) = 5b^5 + 70b^4 + 245b^3$

5) $(a + 3)(a - 4)^2 = (a + 3)(a^2 - 8a + 16) = a^3 - 8a^2 + 16a + 3a^2 - 24a + 48 = a^3 + (-8a^2 + 3a^2) + (16a - 24a) + 48 = a^3 - 5a^2 - 8a + 48$

6) $(2x + 4)^2(x - 8) = (4x^2 + 16x + 16)(x - 8) = 4x^3 + 16x^2 + 16x - 32x^2 - 128x - 128 = 4x^3 + (16x^2 - 32x^2) + (16x - 128x) - 128 = 4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$

7) $(a - 5)^2(a + 5)^2 = ((a - 5)(a + 5))^2 = (a^2 - 25)^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

8) $(3x + 4y)^2(3x - 4y)^2 = ((3x + 4y)(3x - 4y))^2 = (9x^2 - 16y^2)^2 = 81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$

Задание №582

Представьте в виде многочлена выражение:
1) ( 0, 02 p3 + 20 p2 k4 )2;
2) ( 1_1/6 m n − 4/21 m2 n5 )2;
3) − 15 ( 1/3 a − 1/5 b )2;
4) 7 x ( x3 − 2 x )2;
5) ( 5 y − 2 )2 ( 2 y + 1 );
6) ( 10 p − k )2 ( 10 p + k )2.

Решение:

1) ( 0, 02 p3 + 20 p2 k4 )2 = 0, 0004 p6 + 0, 8 p5 k4 + 400 p4 k8

2) $(1\frac16mn-\frac4{21}m^2n^5)^2=(\frac76mn-\frac4{21}m^2n^5)^2=\frac{49}{36}m^2n^2-2\ast\frac76\ast\frac4{21}m^3n^6+\frac{16}{441}m^4n^{10}=1\frac{13}{36}m^2n^2-2\ast\frac13\ast\frac23m^3n^6+\frac{16}{441}m^4n^{10}=1\frac{13}{36}m^2n^2-\frac49m^3n^6+\frac{16}{441}m^4n^{10}$

3) $-15(\frac13a-\frac15b)^2=-15(\frac19a^2-\frac2{15}ab+\frac1{25}b^2)=-\frac53a^2+2ab-\frac35b^2=-1\frac23a^2+2ab-\frac35b^2$

4) 7 x ( x3 − 2 x )2 = 7 x ( x6 − 4 x4 + 4 x2 ) = 7 x7 − 28 x5 + 28 x3

5) ( 5 y − 2 )2 ( 2 y + 1 ) = ( 25 y2 − 20 y + 4 ) ( 2 y + 1 ) = 50 y3 − 40 y2 + 8 y + 25 y2 − 20 y + 4 = 50 y3 + ( − 40 y2 + 25 y2 ) + ( 8 y − 20 y ) + 4 = 50 y3 − 15 y2 − 12 y + 4

6) ( 10 p − k )2 ( 10 p + k )2 = ( ( 10 p − k ) ( 10 p + k ) )2 = ( 100 p2 − k2 )2 = 10000 p4 − 200 p2 k2 + k4

Задание №583

Упростите выражение и найдите его значение:
1) ( a + 3 )2 − ( a − 9 ) ( a + 9 ), если a = −2,5;
2) ( 5 x − 8 )2 − ( 4 x − 3 )2 + 26 x, если x = − 1/3;
3) ( 3 y2 + 4 )2 + ( 3 y2 − 4 )2 − 2 ( 1 − 3 y2 ) ( 1 + 3 y2 ), если y = 1/2.

Решение:

1) ( a + 3 )2 − ( a − 9 ) ( a + 9 ) = ( a2 + 6 a + 9 ) − ( a2 − 81 ) = a2 + 6 a + 9 − a2 + 81 = 6 a + 90 = 6 ∗ ( − 2, 5 ) + 90 = − 15 + 90 = 75

2) ( 5 x − 8 )2 − ( 4 x − 3 )2 + 26 x = ( 25 x2 − 80 x + 64 ) − ( 16 x2 − 24 x + 9 ) + 26 x = 25 x2 − 80 x + 64 − 16 x2 + 24 x − 9 + 26 x = ( 25 x2 − 16 x2 ) + ( − 80 x + 24 x + 26 x ) + ( 64 − 9 ) = 9 x2 − 30 x + 55 = 9 ∗ ( − 1/3 )2 − 30 ∗ ( − 1/3 ) + 55 = 9 ∗ 1/9 + 10 + 55 = 1 + 10 + 55 = 66

3) $(3y^2+4)^2+(3y^2-4)^2-2(1-3y^2)(1+3y^2)=(9y^4+24y^2+16)+(9y^4-24y^2+16)-2(1-9y^4)=9y^4+24y^2+16+9y^4-24y^2+16-2+18y^4=(9y^4+9y^4+18y^4)+(24y^2-24y^2)+(16+16-2)=36y^4+30=6(6y^4+5)=6(6\ast(\frac12)^4+5)=6(6\ast\frac1{16}+5)=6(\frac38+5)=6\ast\frac{43}8=\frac{3\ast43}4=\frac{129}4=32\frac14$