Задание №546
Представьте в виде произведения трех множителей выражение:
1) m 4 − 625;
2) x 16 − 81;
3) 2 4n − 16.
Решение:
1) m4 − 625 = ( m2 − 25 ) ( m2 + 25 ) = ( m − 5 ) ( m + 5 ) ( m2 + 25 )
2) x16 − 81 = ( x8 − 9 ) ( x8 + 9 ) = ( x4 − 3 ) ( x4 + 3 ) ( x8 + 9 )
3) 24n − 16 = ( 22n − 4 ) ( 22n + 4 ) = ( 2n − 2 ) ( 2n + 2 ) ( 22n + 4 )
Задание №547
Разложите на множители:
1) a 8 − b 8;
2) a 16 − 256.
Решение:
1) a8 − b8 = ( a4 − b4 ) ( a4 + b4 ) = ( a4 + b4 ) ( a2 − b2 ) ( a2 + b2 ) = ( a4 + b4 ) ( a2 + b2 ) ( a − b ) ( a + b )
2) a 16 − 256 = ( a8 − 16 ) ( a8 + 16 ) = ( a8 + 256 ) ( a4 + 4 ) ( a4 − 4 ) = ( a8 + 256 ) ( a4 + 4 ) ( a2 − 2 ) ( a2 + 2 )
Задание №548
Решите уравнение:
1) ( 3 x − 5 )2 − 49 = 0;
2) ( 4 x + 7 )2 − 9 x2 = 0;
3) ( a − 1 )2 − ( 2 a + 9 )2 = 0;
4) 25 ( 3 b + 1 )2 − 16 ( 2 b − 1 )2 = 0.
Решение:
1) ( 3 x − 5 )2 − 49 = 0
( ( 3 x − 5 ) − 7 ) ( ( 3 x + 5 ) − 7 ) = 0
( 3 x1 − 5 ) − 7 = 0
3 x1 − 12 = 0
3 x1 = 12
x1 = 12 : 3
x1 = 4;
( 3 x2 − 5 ) + 7 = 0
3 x2 + 12 = 0
3 x2 = − 12
x2 = − 12 : 3
x2 = − 4.
2) ( 4 x + 7 )2 − 9 x2 = 0
( ( 4 x + 7 ) − 3 x ) ( ( 4 x + 7 ) + 3 x ) = 0
( ( 4 x1 + 7 ) − 3 x1 ) = 0
4 x1 + 7 − 3 x1 = 0
x1 = − 7;
( ( 4 x2 + 7 ) + 3 x2 ) = 0
7 x2 = − 7
x2 = − 7 : 7
x2 = − 1.
3) ( a − 1 )2 − ( 2 a + 9 )2 = 0
( ( a − 1 ) − ( 2 a + 9 ) ) ( ( a − 1 ) + ( 2 a + 9 ) ) = 0
a1 − 1 − 2 a1 − 9 = 0
− a1 − 10 = 0
− a1 = 10
a1 = − 10;
a2 − 1 + 2 a2 + 9 = 0
3 a2 + 8 = 0
3 a2 = − 8
a2 = − 8/3 = − 2_2/3.
4) 25 ( 3 b + 1 )2 − 16 ( 2 b − 1 )2 = 0
52 ( 3 b + 1 )2 − 42 ( 2 b − 1 )2 = 0
( 15 b + 5 )2 − ( 8 b − 4 )2 = 0
( ( 15 b + 5 ) − ( 8 b − 4 ) ) ( ( 15 b + 5 ) + ( 8 b − 4 ) ) = 0
15 b1 + 5 − 8 b1 + 4 = 0
7 b1 = − 9
b1 = − 9/7 = − 1_2/7;
15 b2 + 5 + 8 b2 − 4 = 0
23 b2 = − 1
b2 = − 1/23.
Задание №549
Решите уравнение:
1) 16 − ( 6 − 11 x )2 = 0;
2) ( 7 m − 13 )2 − ( 9 m + 19 ) = 0.
Решение:
1) 16 − ( 6 − 11 x )2 = 0
( 4 − ( 6 − 11 x ) ) ( 4 + ( 6 − 11 x ) ) = 0
4 − 6 + 11 x1 = 0
11 x1 = 2
x1 = 2/11;
4 + 6 − 11 x2 = 0
− 11 x2 = − 10
x2 = − 10/ 11.
2) ( 7 m − 13 )2 − ( 9 m + 19 )2 = 0
( ( 7 m − 13 ) − ( 9 m + 19 ) ) ( ( 7 m − 13 ) + ( 9 m + 19 ) ) = 0
7 m1 − 13 − 9 m1 − 19 = 0
− 2 m1 = 32
m1 = 32 : ( − 2 )
m1 = 16;
7 m2 − 13 + 9 m2 + 19 = 0
16 m2 = − 6
m2 = − 6/16 = − 3/8.
Задание №550
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
1) ( 7 n + 4 )2 − 9 делится нацело на 7;
2) ( 8 n + 1 )2 − ( 3 n − 1 )2 делится нацело на 11;
3) ( 3 n + 7 )2 − ( 3 n − 5 )2 делится нацело на 24;
4) ( 7 n + 6 )2 − ( 2 n − 9 )2 делится нацело на 15.
Решение:
1) ( 7 n + 4 )2 − 9 = ( ( 7 n + 4 ) − 3 ) ( ( 7 n + 4 ) + 3 ) = ( 7 n + 4 − 3 ) ( 7 n + 4 + 3 ) = ( 7 n + 1 ) ( 7 n + 7 ) = 7 ∗ ( 7 n + 1 ) ( n + 1 ), следовательно значение выражения делится нацело на 7.
2) ( 8 n + 1 )2 − ( 3 n − 1 )2 = ( ( 8 n + 1 ) − ( 3 n − 1 ) ) ( ( 8 n + 1 ) + ( 3 n − 1 ) ) = ( 8 n + 1 − 3 n + 1 ) ( 8 n + 1 + 3 n − 1 ) = 11 ∗ n ( 5 n + 2 ), следовательно значение выражения делится нацело на 11.
3) ( 3 n + 7 )2 − ( 3 n − 5 )2 = ( ( 3 n + 7 ) − ( 3 n − 5 ) ) ( ( 3 n + 7 ) + ( 3 n − 5 ) ) = ( 3 n + 7 − 3 n + 5 ) ( 3 n + 7 + 3 n − 5 ) = 12 ( 6 n + 4 ) = 12 ∗ 2 ( 3 n + 2 ) = 24 ∗ ( 3 n + 2 ), следовательно значение выражения делится нацело на 24.
4) ( 7 n + 6 )2 − ( 2 n − 9 )2 = ( ( 7 n + 6 ) − ( 2 n − 9 ) ) ( ( 7 n + 6 ) + ( 2 n − 9 ) ) = ( 7 n + 6 − 2 n + 9 ) ( 7 n + 6 + 2 n − 9 ) = ( 5 n + 15 ) ( 9 n − 3 ) = 5 ( n + 3 )3 ( 3 n − 1 ) = 15 ∗ ( n + 3 ) ( 3 n − 1 ), следовательно значение выражения делится нацело на 15.
Задание №551
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
1) ( 5 n + 4 )2 − ( 5 n − 4 )2 делится нацело на 80;
2) ( 9 n + 10 )2 − ( 9 n + 8 )2 делится нацело на 36;
3) ( 10 n + 2 )2 − ( 4 n − 10 )2 делится нацело на 12.
Решение:
1) ( 5 n + 4 )2 − ( 5 n − 4 )2 = ( ( 5 n + 4 ) − ( 5 n − 4 ) ) ( ( 5 n + 4 ) + ( 5 n − 4 ) ) = ( 5 n + 4 − 5 n + 4 ) ( 5 n + 4 + 5 n − 4 ) = 8 ∗ 10 n = 80 n, следовательно значение выражения делится нацело на 80.
2) ( 9 n + 10 )2 − ( 9 n + 8 )2 = ( ( 9 n + 10 ) − ( 9 n + 8 ) ) ( ( 9 n + 10 ) + ( 9 n + 8 ) ) = ( 9 n + 10 − 9 n − 8 ) ( 9 n + 10 + 9 n + 8 ) = 2 ( 18 n + 18 ) = 2 ∗ 18 ( n + 1 ) = 36 ( n + 1 ), следовательно значение выражения делится нацело на 36.
3) ( 10 n + 2 )2 − ( 4 n − 10 )2 = ( ( 10 n + 2 ) − ( 4 n − 10 ) ) ( ( 10 n + 2 ) + ( 4 n − 10 ) ) = ( 10 n + 2 − 4 n + 10 ) ( 10 n + 2 + 4 n − 10 ) = ( 6 n + 12 ) ( 14 n − 8 ) = 6 ( n + 2 )2 ( 7 n − 4 ) = 12 ( n + 2 ) ( 7 n − 4 ), следовательно значение выражения делится нацело на 12.
Задание №552
Докажите, что:
1) разность квадратов двух последовательных чисел равна сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных четных чисел делится нацело на 4.
Решение:
1) Пусть первое число n, тогда:
n + 1 − последующее число, следовательно:
( n + 1 )2 − n2 = ( n + 1 ) + n
((n + 1) − n)((n + 1) + n) = n + 1 + n
(n + 1 − n)(n + 1 + n) = 2n + 1
1(2n + 1) = 2n + 1
2n + 1 = 2n + 1
2) Пусть первое число 2n, тогда:
2n + 2 − последующее четное число, следовательно:
( 2 n + 2 )2 − ( 2 n )2 = ( ( 2 n + 2 ) − 2 n ) ( ( 2 n + 2 ) + 2 n ) = ( 2 n + 2 − 2 n ) ( 2 n + 2 + 2 n ) = 2 ( 4 n + 2 ) = 2 ∗ 2 ( 2 n + 1 ) = 4 ∗ ( 2 n + 1 ), следовательно значение выражения нацело делится на 4.
Задание №553
Докажите, что:
1) разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;
2) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится нацело на 8.
Решение:
1) Пусть первое число 2n, тогда:
2n + 2 − последующее четное число, следовательно:
( 2 n + 2 )2 − ( 2 n )2 = 2 ( ( 2 n + 2 ) + 2 n )
( ( 2 n + 2 ) − 2 n ) ( ( 2 n + 2 ) + 2 n ) = 2 ( 2 n + 2 + 2 n )
( 2 n + 2 − 2 n ) ( 2 n + 2 + 2 n ) = 2 ( 4 n + 2 )
2 ( 4 n + 2 ) = 2 ( 4 n + 2 )
2) Пусть первое число 2n − 1, тогда:
2n + 1 − последующее нечетное число, следовательно:
( 2 n + 1 )2 − ( 2 n − 1 )2 = ( ( 2 n + 1 ) − ( 2 n − 1 ) ) ( ( 2 n + 1 ) + ( 2 n − 1 ) ) = ( 2 n + 1 − 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 + 2 n − 1 ) = 2 ∗ 4 n = 8 n, следовательно значение выражения нацело делится на 8.
Задание №554
Докажите тождество:
( m3 − n3 )2 ( m3 + n3 )2 − ( m6 + n6 )2 = − 4 m6 n6
Решение:
( m3 − n3 )2 ( m3 + n3 )2 − ( m6 + n6 )2 = ( ( m3 − n3 ) ( m3 + n3 ) − ( m6 + n6 ) ) ( ( m3 − n3 ) ( m3 + n3 ) + ( m6 + n6 ) ) = ( ( m6 − n6 ) − ( m6 + n6 ) ) ( ( m6 − n6 ) + ( m6 + n6 ) ) = ( m6 − n6 − m6 − n6 ) ( m6 − n6 + m6 + n6 ) = − 2 n6 ∗ 2 m6 = − 4 m6 n6
− 4 m6 n6 = − 4 m6 n6
Задание №555
Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть двузначные числа равны
ab и ba, тогда:
( 10 a + b )2 − ( 10 b + a )2 = 693
( 10 a + b )2 − ( 10 b + a )2 = ( ( 10 a + b ) − ( 10 b + a ) ) ( ( 10 a + b ) + ( 10 b + a ) ) = ( 10 a + b − 10 b − a ) ( 10 a + b + 10 b + a ) = ( 9 a − 9 b ) ( 11 a + 11 b ) = 9 ( a − b )11 ( a + b ) = 99 ( a − b ) ( a + b )
99(a − b)(a + b) = 693
(a − b)(a + b) = 693 : 99
(a − b)(a + b) = 7
Число 7 является простым числом, то есть имеет ровно два делителя 1 и 7.
Так как (a − b) < (a + b), то:
(a − b) = 1
(a + b) = 7.
Выразим a через b:
a − b = 1
a = b + 1, тогда:
a + b = 7
b + 1 + b = 7
2b = 7 − 1
2b = 6
b = 6 : 2
b = 3
Найдем число a:
a − b = 1
a − 3 = 1
a = 1 + 3
a = 4, следовательно искомые числа равны:
ab = 43;
ba = 34.
Задание №556
Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.
Решение:
Пусть неполное частное при делении одного натурального числа равно 7x + 4, а другого 7y + 3, тогда:
( 7 x + 4 )2 − ( 7 y + 3 )2 = ( ( 7 x + 4 ) − ( 7 y + 3 ) ) ( ( 7 x + 4 ) + ( 7 y + 3 ) ) = ( 7 x + 4 − 7 y + 3 ) ( 7 x + 4 + 7 y + 3 ) = ( 7 x − 7 y + 7 ) ( 7 x + 7 y + 7 ) = 7 ( x − y + 1 ) ( 7 x + 7 y + 7 ), следовательно разность квадратов этих чисел кратна 7.
Задание №557
При каком значении b уравнение
( b2 − 4 ) x = b − 2;
1) имеет бесконечно много корней;
2) не имеет корней;
3) имеет один корень?
Решение:
1) Для того, чтобы уравнение имело бесконечно много корней, нужно чтобы обе части уравнения были равны нулю, тогда:
b − 2 = 0
b = 2, то есть при b = 2 уравнение будет иметь бесконечно много корней, так как:
( b2 − 4 ) x = b − 2
( 2 2 − 4 ) x = 2 − 2
(4 − 4)x = 0
0x = 0
0 = 0
2) ( b2 − 4 ) x = 0
( b2 − 4 ) = 0
(b − 2)(b + 2) = 0
b1 − 2 = 0
b1 = 2;
b2 + 2 = 0
b2 = − 2, то есть при b = −2 уравнение не будет иметь корней, так как:
( b2 − 4 ) x = b − 2
( ( − 2 )2 − 4 ) x = − 2 − 2
(4 − 4)x = −4
0x = −4
0 ≠ −4
3) При b ≠ 2 и b ≠ −2 уравнение будет иметь только один корень, например при b = 1:
( b2 − 4 ) x = b − 2
( 12 − 4 ) x = 1 − 2
(1 − 4)x = −1
−3x = −1
x = 1/3
