Задание №481

Найдите значение выражения:
1) 2 a + b + 2 a2 + a b, если a = −3, b = 4;
2) 3 x3 − x2 − 6 x + 2, если x = 2/3.

Решение:

1) 2 a + b + 2 a2 + a b = ( 2 a + b ) + ( 2 a2 + a b ) = ( 2 a + b ) + a ( 2 a + b ) = ( 2 a + b ) ( a + 1 ) = ( 2 ∗ ( − 3 ) + 4 ) ( − 3 + 1 ) = − 2 ∗ − 2 = 4

2) 3 x3 − x2 − 6 x + 2 = ( 3 x3 − x2 ) − ( 6 x − 2 ) = x2 ( 3 x − 1 ) − 2 ( 3 x − 1 ) = ( 3 x − 1 ) ( x2 − 2 ) = ( 3 ∗ 2/3 − 1 ) ( ( 2/3 )2 − 2 ) = ( 2 − 1 ) ( 4/9 − 2 ) = − 1 5/9

Задание №482

Вычислите, не пользуясь калькулятором:
1) 3, 742 + 3, 74 ∗ 2, 26 − 3, 74 ∗ 1, 24 − 2, 26 ∗ 1, 24;
2) 58, 7 ∗ 1, 2 + 36 ∗ 3, 52 − 34, 7 ∗ 1, 2 − 2, 32 ∗ 36;
3) 2 4 9 ∗ 3 2 7 + 1 5 7 ∗ 2, 8 + 2 5 9 ∗ 3 2 7 + 1 5 7 ∗ 2, 2.

Решение:

1) 3, 742 + 3, 74 ∗ 2, 26 − 3, 74 ∗ 1, 24 − 2, 26 ∗ 1, 24 = ( 3, 742 + 3, 74 ∗ 2, 26 ) − ( 3, 74 ∗ 1, 24 + 2, 26 ∗ 1, 24 ) = 3, 74 ( 3, 74 + 2, 26 ) − 1, 24 ( 3, 74 + 2, 26 ) = ( 3, 74 + 2, 26 ) ( 3, 74 − 1, 24 ) = 6 ∗ 2, 5 = 15

2) 58, 7 ∗ 1, 2 + 36 ∗ 3, 52 − 34, 7 ∗ 1, 2 − 2, 32 ∗ 36 = ( 58, 7 ∗ 1, 2 − 34, 7 ∗ 1, 2 ) + ( 36 ∗ 3, 52 − 2, 32 ∗ 36 ) = 1, 2 ( 58, 7 − 34, 7 ) + 36 ( 3, 52 − 2, 32 ) = 1, 2 ∗ 24 + 36 ∗ 1, 2 = 1, 2 ( 24 + 36 ) = 1, 2 ∗ 60 = 72

3) $2\frac49\ast3\frac27+1\frac57\ast2,8+2\frac59\ast3\frac27+1\frac57\ast2,2=(2\frac49\ast3\frac27+2\frac59\ast3\frac27)+(1\frac57\ast2,8+1\frac57\ast2,2)=3\frac27(2\frac49+2\frac59)+1\frac57(2,8+2,2)=3\frac27\ast5+1\frac57\ast5=5(3\frac27+1\frac57)=5\ast5=25$

Задание №483

Найдите значение выражения:
1) 34,4 * 13,7 − 34,4 * 8,7 − 15,6 * 8,7 + 13,7 * 15,6;
2) 0, 63 − 2 ∗ 0, 62 ∗ 0, 8 + 0, 6 ∗ 0, 82 − 2 ∗ 0, 83.

Решение:

1) 34,4 * 13,7 − 34,4 * 8,7 − 15,6 * 8,7 + 13,7 * 15,6 = (34,4 * 13,7 + 13,7 * 15,6) − (34,4 * 8,7 + 15,6 * 8,7) = 13,7(34,4 + 15,6) − 8,7(34,4 + 15,6) = (34,4 + 15,6)(13,7 − 8,7) = 50 * 5 = 250

2) 0, 63 − 2 ∗ 0, 62 ∗ 0, 8 + 0, 6 ∗ 0, 82 − 2 ∗ 0, 83 = ( 0, 63 − 2 ∗ 0, 62 ∗ 0, 8 ) + ( 0, 6 ∗ 0, 82 − 2 ∗ 0, 83 ) = 0, 62 ( 0, 6 − 2 ∗ 0, 8 ) + 0, 82 ( 0, 6 − 2 ∗ 0, 8 ) = ( 0, 6 − 2 ∗ 0, 8 ) ( 0, 62 + 0, 82 ) = ( 0, 6 − 1, 6 ) ( 0, 36 + 0, 64 ) = − 1 ∗ 1 = − 1

Задание №484

Разложите на множители многочлен:
1) a x2 + a y − b x2 − b y + c x2 + c y;
2) a2 b + a + a b2 + b + 3 a b + 3;
3) x3 − x2 + x2 y + x − x y + y;
4) m2 n + m n − 5 − 5 m + n − 5 m2;
5) x6 − 2 x5 + 4 x3 − 8 x2 + 5 x − 10;
6) a3 b + a b2 − a b c3 − a2 c − b c + c 4.

Решение:

1) a x2 + a y − b x2 − b y + c x2 + c y = ( a x2 − b x2 + c x2 ) + ( a y − b y + c y ) = x2 ( a − b + c ) + y ( a − b + c ) = ( a − b + c ) ( x2 + y )

2) a2 b + a + a b2 + b + 3 a b + 3 = ( a2 b + a ) + ( a b2 + b ) + ( 3 a b + 3 ) = a ( a b + 1 ) + b ( a b + 1 ) + 3 ( a b + 1 ) = ( a b + 1 ) ( a + b + 3 )

3) x3 − x2 + x2 y + x − x y + y = ( x3 − x2 + x ) + ( x2 y − x y + y ) = x ( x3 − x + 1 ) + y ( x2 − x + 1 ) = ( x3 − x + 1 ) ( x + y )

4) m2 n + m n − 5 − 5 m + n − 5 m2 = ( m2 n + m n + n ) − ( 5 m2 + 5 m + 5 ) = n ( m2 + m + 1 ) − 5 ( m2 + m + 1 ) = ( m2 + m + 1 ) ( n − 5 )

5) x6 − 2 x5 + 4 x3 − 8 x2 + 5 x − 10 = ( x6 − 2 x5 ) + ( 4 x3 − 8 x2 ) + ( 5 x − 10 ) = x5 ( x − 2 ) + 4 x2 ( x − 2 ) + 5 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x5 + 4 x2 + 5 )

6) ( a3 b + a b2 − a b c3 ) − ( a2 c + b c − c4 ) = a b ( a2 + b − c3 ) − c ( a2 + b − c3 ) = ( a b − c ) ( a2 + b − c3 )

Задание №485

Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) ab + ac + ad + bx + cx + dx;
2) 7p − 7k − px + kx + k − p;
3) x3 y3 − x2 y2 + x y − 6 + 6 x y − 6 x2 y2;
4) a5 − a4 b + a3 b2 − a2 b3 + a b4 − b5.

Решение:

1) ab + ac + ad + bx + cx + dx = (ab + ac + ad) + (bx + cx + dx) = a(b + c + d) + x(b + c + d) = (b + c + d)(a + x)

2) 7p − 7k − px + kx + k − p = (7p − 7k) − (px − kx) + (k − p) = 7(p − k) − x(p − k) − (p − k) = (p − k)(7 − x − 1) = (p − k)(6 − x)

3) x3 y3 − x2 y2 + x y − 6 + 6 x y − 6 x2 y2 = ( x3 y3 − x2 y2 + x y ) − ( 6 − 6 x y + 6 x2 y2 ) = x y ( x2 y2 − x y + 1 ) − 6 ( 1 − x y + x2 y2 ) = ( x2 y2 − x y + 1 ) ( x y − 6 )

4) a5 − a4 b + a3 b2 − a2 b3 + a b4 − b5 = ( a5 − a4 b + a3 b2 ) − ( a2 b3 − a b4 + b5 ) = a3 ( a2 − a b + b2 ) − b3 ( a2 − a b + b2 ) = ( a2 − a b + b2 ) ( a3 − b3 )

Задание №486

Разложите на множитель выражение (n − натуральное число):
1) a n + 1 + a n + a + 1;
2) b n + 2 − b − 1 + b n + 1;
3) 3 y n + 3 − 3 y2 − 5 + 5 y n + 1.

Решение:

1) an + 1 + an + a + 1 = ( an + 1 + an ) + ( a + 1 ) = an ( a + 1 ) + ( a + 1 ) = ( a + 1 ) ( an + 1 )

2) bn + 2 − b − 1 + bn + 1 = ( bn + 2 + bn + 1 ) − ( b + 1 ) = bn + 1 ( b + 1 ) − ( b + 1 ) = ( b + 1 ) ( bn + 1 − 1 )

3) 3 yn + 3 − 3 y2 − 5 + 5 yn + 1 = ( 3 yn + 3 + 5 yn + 1 ) − ( 3 y2 + 5 ) = yn + 1 ( 3 yn + 2 + 5 ) − ( 3 y2 + 5 ) = ( 3 y2 + 5 ) ( yn + 1 − 1 )

Задание №487

Разложите на множители трехчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:
1) x2 + 8 x + 12;
2) x2 − 5 x + 4;
3) x2 + 7 x − 8;
4) x2 − 4 x − 5.

Решение:

1) x2 + 8 x + 12 = x2 + 2 x + 6 x + 12 = ( x2 + 2 x ) + ( 6 x + 12 ) = x ( x + 2 ) + 6 ( x + 2 ) = ( x + 2 ) ( x + 6 )

2) x2 − 5 x + 4 = x2 − ( 4 x + x ) + 4 = x2 − 4 x − x + 4 = ( x2 − 4 x ) − ( x − 4 ) = x ( x − 4 ) − ( x − 4 ) = ( x − 4 ) ( x − 1 )

3) x2 + 7 x − 8 = x2 + ( 8 x − x ) − 8 = x2 + 8 x − x − 8 = x ( x + 8 ) − ( x + 8 ) = ( x + 8 ) ( x − 1 )

4) x2 − 4 x − 5 = x2 − ( 5 x − x ) − 5 = x2 − 5 x + x − 5 = ( x2 − 5 x ) + ( x − 5 ) = x ( x − 5 ) + ( x − 5 ) = ( x − 5 ) ( x + 1 )

Задание №488

Разложите на множители трехчлен:
1) x2 + 4 x + 3;
2) x2 − 10 x + 16;
3) x2 + 3 x − 18;
4) x2 − 4 x − 32.

Решение:

1) x2 + 4 x + 3 = x2 + 3 x + x + 3 = ( x2 + 3 x ) + ( x + 3 ) = x ( x + 3 ) + ( x + 3 ) = ( x + 3 ) ( x + 1 )

2) x2 − 10 x + 16 = x2 − ( 8 x + 2 x ) + 16 = x2 − 8 x − 2 x + 16 = ( x2 − 8 x ) − ( 2 x − 16 ) = x ( x − 8 ) − 2 ( x − 8 ) = ( x − 8 ) ( x − 2 )

3) x2 + 3 x − 18 = x2 + ( 6 x − 3 x ) − 18 = x2 + 6 x − 3 x − 18 = ( x2 + 6 x ) − ( 3 x + 18 ) = x ( x + 6 ) − 3 ( x + 6 ) = ( x + 6 ) ( x − 3 )

4) x2 − 4 x − 32 = x2 − ( 8 x − 4 x ) − 32 = x2 − 8 x + 4 x − 32 = ( x2 − 8 x ) + ( 4 x − 32 ) = x ( x − 8 ) + 4 ( x − 8 ) = ( x − 8 ) ( x + 4 )

Задание №489

Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения

n3 + 3 n2 + 2 n делится нацело на 6.

Решение:

n3 + 3 n2 + 2 n = n ( n2 + 3 n + 2 ) = n ( n2 + n + 2 n + 2 ) = n ( ( n2 + n ) + ( 2 n + 2 ) ) = n ( n ( n + 1 ) + 2 ( n + 1 ) ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ),
числа n, (n + 1) и (n + 2) - натуральные последовательные числа, среди которых обязательно есть четное число, а также число кратное 3, а произведение четного числа и числа кратного 3, всегда будет нацело делится на 6.

Задание №490

Разложите на множители многочлен:
a 2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c.

Решение:

a 2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c = a2 + b2 + c2 + a b + a b + b c + b c + a c + a c = ( a2 + a b + a c ) + ( b2 + a b + b c ) + ( c2 + b c + a c ) = a ( a + b + c ) + b ( b + a + c ) + c ( c + b + a ) = ( a + b + c ) ( a + b + c ) = ( a + b + c ) 2