Задание №442

Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) c(x − 3) − d(x − 3);
2) m(p − k) − (p − k);
3) m(x − y) − n(y − x);
4) x(2 − x) + 4(x − 2);
5) 4x(2x − y) − 5y(y − 2x);
6) ( y + 1 )2 − 4 y ( y + 1 );
7) 10 ( a2 − 5 ) + ( a2 − 5 )2;
8) ( a − 2 )2 − 6 ( a − 2 ).

Решение:

1) c(x − 3) − d(x − 3) = (x − 3)(c − d)

2) m(p − k) − (p − k) = (p − k)(m − 1)

3) m(x − y) − n(y − x) = m(x − y) + n(x − y) = (x − y)(m + n)

4) x(2 − x) + 4(x − 2) = x(2 − x) − 4(2 − x) = (2 − x)(x − 4)

5) 4x(2x − y) − 5y(y − 2x) = 4x(2x − y) + 5y(2x − y) = (2x − y)(4x + 5y)

6) ( y + 1 )2 − 4 y ( y + 1 ) = ( y + 1 ) ( y + 1 − 4 y ) = ( y + 1 ) ( 1 − 3 y )

7) 10 ( a2 − 5 ) + ( a2 − 5 )2 = ( a2 − 5 ) ( 10 + a2 − 5 ) = ( a2 − 5 ) ( 5 + a2 )

8) ( a − 2 )2 − 6 ( a − 2 ) = ( a − 2 ) ( a − 2 − 6 ) = ( a − 2 ) ( a − 8 )

Задание №443

Разложите на множители:
1) 2 a5 b2 − 4 a3 b + 6 a2 b 3;
2) m n3 + 5 m2 n2 − 7 m2 n;
3) x y2 + x2 y − x y;
4) 9 x3 + 4 x2 − x;
5) − 6 m4 − 8 m5 − 2 m 6;
6) 42 a4 b − 28 a3 b2 − 70 a5 b 3.

Решение:

1) 2 a5 b2 − 4 a3 b + 6 a2 b3 = 2 a2 b ( a3 b − 2 a + 3 b2 )

2) m n3 + 5 m2 n2 − 7 m2 n = m n ( n2 + 5 m n − 7 m )

3) x y2 + x2 y − x y = x y ( y + x − 1 )

4) 9 x3 + 4 x2 − x = x ( 9 x2 + 4 x − 1 )

5) − 6 m4 − 8 m5 − 2 m6 = − 2 m4 ( 3 + 4 m + m2 )

6) 42 a4 b − 28 a3 b2 − 70 a5 b3 = 7 a3 b ( 6 a − 4 a b − 10 a2 b2 )

Задание №444

Вынесите за скобки общий множитель:
1) m2 n + m n + n;
2) 3 x6 + 6 x5 − 15 x 4;
3) 7 a4 b3 − 14 a3 b4 + 21 a2 b 5;
4) 20 b6 c5 − 45 b5 c6 − 30 b5 c 5.

Решение:

1) m2 n + m n + n = n ( m2 + m + 1 )

2) 3 x6 + 6 x5 − 15 x4 = 3 x4 ( x2 + 2 x − 5 )

3) 7 a4 b3 − 14 a3 b4 + 21 a2 b5 = 7 a2 b3 ( a2 − 2 a b + 3 b2 )

4) 20 b6 c5 − 45 b5 c6 − 30 b5 c5 = 5 b5 c5 ( 4 b − 9 c − 6 )

Задание №445

Найдите и исправьте ошибки в равенствах:
1) 4a + 4 = 4(a + 4);
2) 6ab − 3b = b(6a − 2b);
3) −5x − 10y = −5(x − 2y);
4) x6 − x4 + x2 = x2 ( x3 − x2 + x ).

Решение:

1) 4a + 4 = 4(a + 4)
4a + 4 ≠ 4a + 16, следовательно правильно:
4a + 4 = 4(a + 1) или 4a + 16 = 4(a + 4)

2) 6ab − 3b = b(6a − 2b)
6 a b − 3 b ≠ 6 a b − 2 b 2, следовательно правильно:
6ab − 3b = b(6a − 3) или 6 a b − 2 b2 = b ( 6 a − 2 b ).

3) −5x − 10y = −5(x − 2y)
−5x − 10y ≠ −5x + 10y, следовательно правильно:
−5x + 10y = −5(x − 2y) или −5x − 10y = −5(x + 2y)

4) x6 − x4 + x2 = x2 ( x3 − x2 + x )
x 6 − x4 + x2 ≠ x5 − x4 + x 3, следовательно правильно:
x 5 − x4 + x3 = x2 ( x3 − x2 + x ) или x6 − x4 + x2 = x2 ( x4 − x2 + 1 )

Задание №446

Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является четным числом.

Решение:

Пусть n − любое натуральное число, тогда:
n + n2 = n ( 1 + n ), следовательно:
если n − число нечетное, то 1 + n − число четное, а произведение четного и нечетного числа есть число четное;
если n − число четное, то 1 + n − число нечетное, а произведение четного и нечетного числа есть число четное.

Задание №447

Разложите на множители:
1) a ( 2 a + b ) ( a + b ) − 4 a ( a + b )2;
2) 3 m2 ( m − 8 ) + 6 m ( m − 8 )2;
3) (2a + 3)(a + 5) + (a − 1)(a + 5);
4) (3x + 7)(4y − 1) − (4y − 1)(2x + 10);
5) ( 5 m − n )3 ( m + 8 n )2 − ( 5 m − n )2 ( m + 8 n )3.

Решение:

1) a ( 2 a + b ) ( a + b ) − 4 a ( a + b )2 = ( a + b ) ( a ( 2 a + b ) − 4 a ( a + b ) ) = a ( a + b ) ( ( 2 a + b ) − 4 ( a + b ) ) = a ( a + b ) ( 2 a + b − 4 a − 4 b ) = a ( a + b ) ( − 2 a − 3 b )

2) 3 m2 ( m − 8 ) + 6 m ( m − 8 )2 = ( m − 8 ) ( 3 m2 + 6 m ( m − 8 ) ) = 3 m ( m − 8 ) ( m + 2 ( m − 8 ) ) = 3 m ( m − 8 ) ( m + 2 m − 16 ) = 3 m ( m − 8 ) ( 3 m − 16 )

3) (2a + 3)(a + 5) + (a − 1)(a + 5) = (a + 5)(2a + 3 + a − 1) = (a + 5)(3a + 2)

4) (3x + 7)(4y − 1) − (4y − 1)(2x + 10) = (4y − 1)(3x + 7 − 2x − 10) = (4y − 1)(x − 3)

5) ( 5 m − n )3 ( m + 8 n )2 − ( 5 m − n )2 ( m + 8 n )3 = ( 5 m − n )2 ( m + 8 n )2 ( 5 m − n − m − 8 n ) = ( 5 m − n )2 ( m + 8 n )2 ( 4 m − 9 n )

Задание №448

Представьте в виде произведения многочленов выражение:
1) (x − 6)(2x − 4) + (x − 6)(8 − x);
2) ( x2 − 2 ) ( 3 y + 5 ) − ( x2 − 2 ) ( y + 12 );
3) (4a − 3b)(5a + 8b) + (3b − 4a)(2a + b);
4) ( p − 9 )4 ( 2 p + 1 )3 + ( p − 9 )3 ( 2 p + 1 )4.

Решение:

1) (x − 6)(2x − 4) + (x − 6)(8 − x) = (x − 6)(2x − 4 + 8 − x) = (x − 6)(x + 4)

2) ( x2 − 2 ) ( 3 y + 5 ) − ( x2 − 2 ) ( y + 12 ) = ( x2 − 2 ) ( 3 y + 5 − y − 12 ) = ( x2 − 2 ) ( 2 y − 7 )

3) (4a − 3b)(5a + 8b) + (3b − 4a)(2a + b) = (4a − 3b)(5a + 8b) − (4a − 3b)(2a + b) = (4a − 3b)(5a + 8b − 2a − b) = (4a − 3b)(3a + 7b)

4) ( p − 9 )4 ( 2 p + 1 )3 + ( p − 9 )3 ( 2 p + 1 )4 = ( p − 9 )3 ( 2 p + 1 )3 ( p − 9 + 2 p + 1 ) = ( p − 9 )3 ( 2 p + 1 )3 ( 3 p − 8 )

Задание №449

Решите уравнение, используя разложение на множители:
1) (x − 3)(x + 7) − (x + 7)(x − 8) = 0;
2) (4x − 9)(x − 2) + (1 − x)(x − 2) = 0;
3) 0,2x(x − 5) + 8(x − 5) = 0;
4) 7 ( x − 7 ) − ( x − 7 )2 = 0.

Решение:

1) (x − 3)(x + 7) − (x + 7)(x − 8) = 0
(x + 7)(x − 3 − x + 8) = 0
5(x + 7) = 0
x + 7 = 0
x = −7

2) (4x − 9)(x − 2) + (1 − x)(x − 2) = 0
(x − 2)(4x − 9 + 1 − x) = 0
(x − 2)(3x − 8) = 0
x1 − 2 = 0 : ( 3 x − 8 )
x1 − 2 = 0
x1 = 2
3 x2 − 8 = 0 : ( x − 2 )
3 x2 − 8 = 0
3 x2 = 8
x2 = 8/3
$x_2=2\frac23$

3) 0,2x(x − 5) + 8(x − 5) = 0
(x − 5)(0,2x + 8) = 0
x1 − 5 = 0 : ( 0, 2 x + 8 )
x1 − 5 = 0
x1 = 5;
0, 2 x2 + 8 = 0 : ( x − 5 )
0, 2 x2 + 8 = 0
0, 2 x2 = − 8
x2 = − 8 : 0, 2
x2 = − 40

4) 7 ( x − 7 ) − ( x − 7 )2 = 0
(x − 7)(7 − x + 7) = 0
(x − 7)(14 − x) = 0
x1 − 7 = 0 : ( 14 − x )
x1 − 7 = 0
x1 = 7
14 − x2 = 0 : ( x − 7 )
14 − x2 = 0
− x2 = − 14
x2 = 14

Задание №450

Решите уравнение, используя разложение на множители:
1) (2x − 9)(x + 6) − x(x + 6) = 0;
2) (3x + 4)(x − 10) + (10 − x)(x − 8) = 0;
3) 3 ( 3 x + 1 )2 − 4 ( 3 x + 1 ) = 0;
4) (9x − 12) − x(9x − 12) = 0.

Решение:

1) (2x − 9)(x + 6) − x(x + 6) = 0
(x + 6)(2x − 9 − x) = 0
(x + 6)(x − 9) = 0
x1 + 6 = 0 : ( x − 9 )
x1 + 6 = 0
x1 = − 6
x2 − 9 = 0 : ( x + 6 )
x2 − 9 = 0
x2 = 9

2) (3x + 4)(x − 10) + (10 − x)(x − 8) = 0
(3x + 4)(x − 10) − (x − 10)(x − 8) = 0
(x − 10)(3x + 4 − x + 8) = 0
(x − 10)(2x + 12) = 0
x1 − 10 = 0 : ( 2 x + 12 )
x1 − 10 = 0
x1 = 10
2 x2 + 12 = 0 : ( x − 10 )
2 x2 + 12 = 0
2 x2 = − 12
x2 = − 12 : 2
x2 = − 6

3) 3 ( 3 x + 1 )2 − 4 ( 3 x + 1 ) = 0
(3x + 1)(3(3x + 1) − 4) = 0
(3x + 1)(9x + 3 − 4) = 0
(3x + 1)(9x − 1) = 0
3 x1 + 1 = 0 : ( 9 x − 1 )
3 x1 + 1 = 0
3 x1 = − 1
x1 = − 1/3
9 x2 − 1 = 0 : ( 3 x + 1 )
9 x2 − 1 = 0
9 x2 = 1
x2 = 1/9

4) (9x − 12) − x(9x − 12) = 0
(9x − 12)(1 − x) = 0
9 x1 − 12 = 0 : ( 1 − x )
9 x1 − 12 = 0
9 x1 = 12
x1 = 12/9 
$x_1=1\frac13$
1 − x2 = 0 : ( 9 x − 12 )
1 − x2 = 0
− x2 = − 1
x2 = 1

Задание №451

Вынесите за скобки общий множитель:
1) ( 2 x − 6 )2;
2) ( 5 y + 5 )2;
3) ( 36 x + 30 y )2;
4) ( 2 x + 4 )4;
5) ( 6 x − 9 y )3;
6) ( a2 + a b )2;
7) ( − 7 a − 14 a b )2;
8) ( 3 c4 − 6 c3 )4.

Решение:

1) ( 2 x − 6 )2 = 22 ( x − 3 )2 = 4 ( x − 3 )2

2) ( 5 y + 5 )2 = 52 ( y + 1 )2 = 25 ( y + 1 )2

3) ( 36 x + 30 y )2 = 62 ( 6 x + 5 y )2 = 36 ( 6 x + 5 y )2

4) ( 2 x + 4 )4 = 24 ( x + 2 )4 = 16 ( x + 2 )4

5) ( 6 x − 9 y )3 = 33 ( 2 x − 3 y )3 = 9 ( 2 x − 3 y )3

6) ( a2 + a b )2 = a2 ( a + b )2

7) ( − 7 a − 14 a b )2 = ( − 7 a )2 ( 1 + 2 b )2 = 49 a2 ( 1 + 2 b )2

8) ( 3 c4 − 6 c3 )4 = ( 3 c3 )4 ( c − 2 )4 = 3 4 c12 ( c − 2 )4 = 81 c12 ( c − 2 )4