Задание №407

Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвертого и второго из этих чисел на 17 больше произведения третьего и первого.

Решение:

Пусть первое число равно x, тогда (x + 1) − второе число, (x + 2) − третье число, (x + 3) − четвертое число.
Составим уравнение:
(x + 3)(x + 1) − x(x + 2) = 17
x2 + 3 x + x + 3 − x2 − 2 x = 17
3x + x − 2x = 17 − 3
2x = 14
x = 14 : 2
x = 7 − первое число;
x + 1 = 7 + 1 = 8 − второе число;
x + 2 = 7 + 2 = 9 − третье число;
x + 3 = 7 + 3 = 10 − четвертое число.
Ответ: 7, 8, 9 и 10.

Задание №408

Найдите три последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и третьего из этих чисел на 50 больше квадрата первого.

Решение:

Пусть первое число равно x, тогда (x + 1) − второе число, (x + 2) − третье число.
Составим уравнение:
( x + 1 ) ( x + 3 ) − x2 = 50
x2 + 2 x + x + 2 − x2 = 50
2x + x = 50 − 2
3x = 48
x = 48 : 3
x = 16 − первое число;
x + 1 = 16 + 1 = 17 − второе число;
x + 2 = 16 + 2 = 18 − третье число.
Ответ: 16, 17 и 18.

Задание №409

Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 5 см больше его другой стороны. Найдите сторону квадрата, если его площадь на 45 см2 больше площади данного прямоугольника.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна x см, тогда (x + 3) см - одна из сторон прямоугольника, (x − 5) см - другая сторона прямоугольника, x2 см2 - площадь квадрата, а (x + 3)(x − 5) см2 - площадь прямоугольника.
Составим уравнение:
x2 − ( x + 3 ) ( x − 5 ) = 45
x2 − x2 + 5 x − 3 x + 15 = 45
5x − 3x = 45 − 15
2x = 30
x = 30 : 2
x = 15
Значит, сторона квадрата 15 см.
Ответ: 15 см.

Задание №410

Периметр прямоугольника равен 60 см. Если одну его сторону уменьшить на 5 см, а другую увеличить на 3 см, то его площадь уменьшится на 21 см2. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

60 : 2 = 30 (см) - сумма длин двух смежных сторон прямоугольника.
Пусть x см - длина одной стороны прямоугольника, тогда (30 − x) см - длина второй стороны прямоугольника, (x − 5) см длина одной стороны прямоугольника после уменьшения на 5 см, (30 − x + 3 = 33 − x) см - длина другой стороны прямоугольника после увеличения на 3 см, x(30 − x) см2 - начальная площадь прямоугольника, а (x − 5)(33 − x) см2 - уменьшенная площадь прямоугольника.
Составим уравнение:
x(30 − x) − (x − 5)(33 − x) = 21
30 x − x2 − 33 x + 165 + x2 − 5 x = 21
30x − 33x − 5x = 21 − 165
−8x = −144
x = −144 : −8
x = 18
Значит,  длина одной стороны прямоугольника 18 см.
30 − x = 30 − 18 = 12 (см) - длина второй стороны прямоугольника.
Ответ: 12 и 18 см.

Задание №411

Длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Если длину увеличить на 2 см, а ширину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 40 см2. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.

Решение:

Пусть ширина прямоугольника x см, тогда (x + 2) см длина прямоугольника, x(x + 2) см2 начальная площадь прямоугольника, (x − 4) см ширина прямоугольника после ее уменьшения на 4 см, (x + 2 + 2 = x + 4) см длина прямоугольника после ее увеличения на 2 см, (x − 4)(x + 4) см2 уменьшенная площадь прямоугольника.
Составим уравнение:
x(x + 2) − (x − 4)(x + 4) = 40
x2 + 2 x − x2 + 4 x − 4 x + 16 = 40
2x + 4x − 4x = 40 − 16
2x = 24
x = 24 : 2
x = 12
Значит, исходная ширина прямоугольника 12 см
x + 2 = 12 + 2 = 14 (см) - исходная длина прямоугольника.
Ответ: 12 и 14 см.

Задание №412

Докажите тождество:
1) x2 − 8 x + 7 = ( x − 1 ) ( x − 7 );
2) y2 ( y − 7 ) ( y + 2 ) = y4 − 5 y3 − 14 y2;
3) a3 − 8 = ( a − 2 ) ( a2 + 2 a + 4 );
4) ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a2 + 1 ) = a4 − 1;
5) ( a4 − a2 + 1 ) ( a4 + a2 + 1 ) = a8 + a4 + 1.

Решение:

1) x2 − 8 x + 7 = ( x − 1 ) ( x − 7 )
x2 − 8 x + 7 = x2 − x − 7 x + 7
x2 − 8 x + 7 = x2 − 8 x + 7

2) y2 ( y − 7 ) ( y + 2 ) = y4 − 5 y3 − 14 y2
y2 ( y2 − 7 y + 2 y − 14 ) = y4 − 5 y3 − 14 y2
y4 − 7 y3 + 2 y3 − 14 y2 = y4 − 5 y3 − 14 y2
y4 − 5 y3 − 14 y2 = y4 − 5 y3 − 14 y2

3) a3 − 8 = ( a − 2 ) ( a2 + 2 a + 4 )
a3 − 8 = a3 + 2 a2 + 4 a − 2 a2 − 4 a − 8
a3 − 8 = a3 + ( 2 a2 − 2 a2 ) + ( 4 a − 4 a ) − 8
a3 − 8 = a3 − 8

4) ( a − 1 ) ( a + 1 ) ( a2 + 1 ) = a4 − 1
( a − 1 ) ( a3 + a2 + a + 1 ) = a4 − 1
a4 + a3 + a2 + a − a3 − a2 − a − 1 = a4 − 1
a4 + ( a3 − a3 ) + ( a2 − a2 ) + ( a − a ) − 1 = a4 − 1
a4 − 1 = a4 − 1

5) ( a4 − a2 + 1 ) ( a4 + a2 + 1 ) = a8 + a4 + 1
a8 + a6 + a4 − a6 − a4 − a2 + a4 + a2 + 1 = a8 + a4 + 1
a8 + ( a6 − a6 ) + ( a4 − a4 + a4 ) + ( − a2 + a2 ) + 1 = a8 + a4 + 1
a8 + a4 + 1 = a8 + a4 + 1

Задание №413

Докажите тождество:
1) 3 a2 + 10 a + 3 = 3 ( a + 3 ) ( a + 1/3 );
2) ( a + 1 ) ( a2 + 5 a + 6 ) = ( a2 + 3 a + 2 ) ( a + 3 );
3) ( a + 1 ) ( a4 − a3 + a2 − a + 1 ) = a5 + 1.

Решение:

1) 3 a2 + 10 a + 3 = 3 ( a + 3 ) ( a + 1/3 )
3 a2 + 10 a + 3 = ( a + 3 ) ( 3 a + 1 )
3 a2 + 10 a + 3 = 3 a2 + 9 a + a + 3
3 a2 + 10 a + 3 = 3 a2 + 10 a + 3

2) ( a + 1 ) ( a2 + 5 a + 6 ) = ( a2 + 3 a + 2 ) ( a + 3 )
a3 + 5 a2 + 6 a + a2 + 5 a + 6 = a3 + 3 a2 + 2 a + 3 a2 + 9 a + 6
a3 + ( 5 a2 + a2 ) + ( 6 a + 5 a ) + 6 = a3 + ( 3 a2 + 3 a2 ) + ( 2 a + 9 a ) + 6
a3 + 6 a2 + 11 a + 6 = a3 + 6 a2 + 11 a + 6

3) ( a + 1 ) ( a4 − a3 + a2 − a + 1 ) = a5 + 1
a5 − a4 + a3 − a2 + a + a4 − a3 + a2 − a + 1 = a5 + 1
a5 + ( − a4 + a4 ) + ( a3 − a3 ) + ( − a2 + a2 ) + ( a − a ) + 1 = a5 + 1
a5 + 1 = a5 + 1

Задание №414

При всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 9)(n + 11) − (n + 3)(n + 5) кратно 12?

Решение:

( n + 9 ) ( n + 11 ) − ( n + 3 ) ( n + 5 ) = n2 + 9 n + 11 n + 99 − n2 − 3 n − 5 n − 15 = ( n2 − n2 ) + ( 9 n + 11 n − 3 n − 5 n ) + ( 99 − 15 ) = 12 n + 84 = 12 ( n + 7 ), так как выражение n + 7 умножается на 12, следовательно при всех ли натуральных значениях n значение данного выражения кратно 12.

Задание №415

При всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 29)(n + 3) − (n + 7)(n + 1) кратно 8?

Решение:

( n + 29 ) ( n + 3 ) − ( n + 7 ) ( n + 1 ) = n2 + 29 n + 3 n + 87 − n2 − 7 n − n − 7 = ( n2 − n2 ) + ( 29 n + 3 n − 7 n − n ) + ( 87 − 7 ) = 24 n + 80 = 8 ( 3 n + 10 ), так как выражение 3n + 10 умножается на 8, следовательно при всех ли натуральных значениях n значение данного выражения кратно 8.

Задание №416

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) (a − 2)(* + 6) = a2 + * − *;
2) (2a + 7)(a − *) = * + * − 14.

Решение:

1) ( a − 2 ) ( ∗1 + 6 ) = a2 + ∗2 − ∗3
a ∗1 − 2 ∗1 + 6 a − 12 = a2 + ∗2 − ∗3
a ∗1 = a2
1 = a2 / a = a, тогда:
a 2 − 2 a + 6 a − 12 = a2 + ∗2 − ∗3
a 2 + 4 a − 12 = a2 + ∗2 − ∗3, следовательно:
2 = 4 a;
3 = 12.

2) ( 2 a + 7 ) ( a − ∗1 ) = ∗2 + ∗3 − 14
2 a2 + 7 a − 2 a ∗1 − 7 ∗1 = ∗2 + ∗3 − 14
− 7 ∗1 = − 14
1 = − 14 : − 7
1 = 2, тогда:
2 a2 + 7 a − 4 a − 14 = ∗2 + ∗3 − 14
2 a2 + 3 a − 14 = ∗2 + ∗3 − 14, следовательно:
2 = 2 a 2;
3 = 3 a.

Задание №417

Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) ( x + 3 ) ( ∗ + 5 ) = 3 x2 + ∗ + ∗;
2) (x − 4)(x + *) = * + * + 24.

Решение:

1) ( x + 3 ) ( ∗1 + 5 ) = 3 x2 + ∗2 + ∗3
x ∗1 + 3 ∗1 + 5 x + 15 = 3 x2 + ∗2 + ∗3
x ∗1 = 3 x2
1 = 3 x2 : x
1 = 3 x, тогда:
3 x2 + 9 x + 5 x + 15 = 3 x2 + ∗2 + ∗3
3 x2 + 14 x + 15 = 3 x2 + ∗2 + ∗3, следовательно:
2 = 14 x;
3 = 15.

2) ( x − 4 ) ( x + ∗1 ) = ∗2 + ∗3 + 24
x2 − 4 x + x ∗1 − 4 ∗1 = ∗2 + ∗3 + 24
− 4 ∗1 = 24
1 = 24 : − 4
1 = − 6, тогда:
x2 − 4 x − 6 x + 24 = ∗2 + ∗3 + 24
x2 − 10 x + 24 = ∗2 + ∗3 + 24, следовательно:
2 = x 2;
3 = − 10 x.

Задание №418

Выбрали некоторые четыре последовательных натуральных числа. Зависит ли разность произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвертого от выбора чисел?

Решение:

Пусть первое число равно n, тогда:
n + 1 − второе число;
n + 2 − третье число;
n + 3 − четвертое число.
Составим уравнение:
(n + 1)(n + 2) − n(n + 3) = n2 + n + 2n + 2 − n2 − 3n = (n2 − n2) + (n + 2n − 3n) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2, следовательно разность произведения второго и третьего из этих чисел и произведения первого и четвертого не зависит от выбора чисел, так как при любых числах значение выражение будет равно 2.