Задание №396
Упростите выражение и найдите его значение:
1) (x + 2)(x − 5) − (x − 3)(x + 4), если x = −5,5;
2) (y + 9)(y − 2) + (3 − y)(6 + 5y), если y = − 1 1/2.
Решение:
1) ( x + 2 ) ( x − 5 ) − ( x − 3 ) ( x + 4 ) = x2 + 2 x − 5 x − 10 − ( x2 − 3 x + 4 x − 12 ) = x2 + 2 x − 5 x − 10 − x2 + 3 x − 4 x + 12 = ( x2 − x2 ) + ( 2 x − 5 x + 3 x − 4 x ) + ( − 10 + 12 ) = 0 − 4 x + 2 = − 4 x + 2
При x = −5,5
− 4 x + 2 = − 4 ∗ ( − 5, 5 ) + 2 = 22 + 2 = 24
2) ( y + 9 ) ( y − 2 ) + ( 3 − y ) ( 6 + 5 y ) = y2 + 9 y − 2 y − 18 + 18 − 6 y + 15 y − 5 y2 = ( y2 − 5 y2 ) + ( 9 y − 2 y − 6 y + 15 y ) + ( − 18 + 18 ) = − 4 y2 + 16 y
При y = − 1_1/2
$-4y^2+16y=-4\ast(-1\frac12)^2+16\ast(-1\frac12)=-4\ast(-\frac32)^2+16\ast(-\frac32)=-4\ast\frac94+8\ast(-3)=-9-24=-33$
Задание №397
Упростите выражение и найдите его значение:
1) (a + 3)(a − 10) − (a + 7)(a − 4), если a = −0,01;
2) (8c + 12)(3c − 1) + (3c + 2)(−5c − 6), если c = 1_1/3.
Решение:
1) ( a + 3 ) ( a − 10 ) − ( a + 7 ) ( a − 4 ) = a2 + 3 a − 10 a − 30 − ( a2 + 7 a − 4 a − 28 ) = a2 + 3 a − 10 a − 30 − a2 − 7 a + 4 a + 28 = ( a2 − a2 ) + ( 3 a − 10 a − 7 a + 4 a ) + ( − 30 + 28 ) = 0 − 10 a − 2
При a = −0,01
− 10 a − 2 = − 10 ∗ ( − 0, 01 ) − 2 = 0, 1 − 2 = − 1, 9
2) ( 8 c + 12 ) ( 3 c − 1 ) + ( 3 c + 2 ) ( − 5 c − 6 ) = 24 c2 + 36 c − 8 c − 12 − 15 c2 − 10 c − 18 c − 12 = ( 24 c2 − 15 c2 ) + ( 36 c − 8 c − 10 c − 18 c ) + ( − 12 − 12 ) = 9 c2 − 24
При c = 1_1/3
$9c^2-24=9\ast(1\frac13)^2-24=9\ast(\frac43)^2-24=9\ast\frac{16}9-24=16-24=-8$
Задание №398
Решите уравнение:
1) ( 2 x − 3 ) ( 4 x + 3 ) − 8 x2 = 33;
2) (2x − 6)(8x + 5) + (3 − 4x)(3 + 4x) = 55;
3) 21 x2 − ( 3 x − 7 ) ( 7 x − 3 ) = 37;
4) (x + 1)(x + 2) − (x − 3)(x + 4) = 12
5) (−4x + 1)(x − 1) − x = (5 − 2x)(2x + 3) − 17.
Решение:
1) ( 2 x − 3 ) ( 4 x + 3 ) − 8 x2 = 33
8 x2 − 12 x + 6 x − 9 − 8 x2 = 33
−12x + 6x = 33 + 9
−6x = 42
x = 42 : −6
x = −7
2) (2x − 6)(8x + 5) + (3 − 4x)(3 + 4x) = 55
16 x2 − 48 x + 10 x − 30 + 9 − 12 x + 12 x − 16 x2 = 55
−48x + 10x = 55 + 30 − 9
−38x = 76
x = 76 : −38
x = −2
3) 21 x2 − ( 3 x − 7 ) ( 7 x − 3 ) = 37
21 x2 − ( 21 x2 − 49 x − 9 x + 21 ) = 37
21 x2 − 21 x2 + 49 x + 9 x − 21 = 37
49x + 9x = 37 + 21
58x = 58
x = 58 : 58
x = 1
4) (x + 1)(x + 2) − (x − 3)(x + 4) = 12
x2 + x + 2 x + 2 − ( x2 − 3 x + 4 x − 12 ) = 12
x2 + x + 2 x + 2 − x2 + 3 x − 4 x + 12 = 12
x + 2x + 3x − 4x = 12 − 12 − 2
2x = −2
x = −2 : 2
x = −1
5) (−4x + 1)(x − 1) − x = (5 − 2x)(2x + 3) − 17
− 4 x2 + x + 4 x − 1 − x = 10 x − 4 x2 + 15 − 6 x − 17
− 4 x2 + 4 x2 + x + 4 x − x − 10 x + 6 x = 1 + 15 − 17
0 ≠ −1
уравнение не имеет корней.
Задание №399
Решите уравнение:
1) (2x − 1)(15 + 9x) − 6x(3x − 5) = 87;
2) (14x − 1)(2 + x) = (2x − 8)(7x + 1);
3) (x + 10)(x − 5) − (x − 6)(x + 3) = 16;
4) (3x + 7)(8x + 1) = (6x − 7)(4x − 1) + 93x.
Решение:
1) (2x − 1)(15 + 9x) − 6x(3x − 5) = 87
30 x − 15 + 18 x2 − 9 x − 18 x2 + 30 x = 87
30x − 9x + 30x = 87 + 15
51x = 102
x = 102 : 51
x = 2
2) (14x − 1)(2 + x) = (2x − 8)(7x + 1)
28 x − 2 + 14 x2 − x = 14 x2 − 56 x + 2 x − 8
14 x2 − 14 x2 + 28 x − x + 56 x − 2 x = − 8 + 2
81x = −6
x = − 6/81
x = − 2/27
3) (x + 10)(x − 5) − (x − 6)(x + 3) = 16
x2 + 10 x − 5 x − 50 − ( x2 − 6 x + 3 x − 18 ) = 16
x2 + 10 x − 5 x − 50 − x2 + 6 x − 3 x + 18 = 16
10x − 5x + 6x − 3x = 16 + 50 − 18
8x = 48
x = 48 : 8
x = 6
4) (3x + 7)(8x + 1) = (6x − 7)(4x − 1) + 93x
24 x2 + 56 x + 3 x + 7 = 24 x2 − 28 x − 6 x + 7 + 93 x
24 x2 − 24 x2 + 56 x + 3 x + 28 x + 6 x − 93 x = 7 − 7
0 = 0
х - любое число.
Задание №400
Выполните умножение:
1) (x + 2)(x − 1)(x − 4);
2) (2x + 1)(x + 5)(x − 6);
3) ( x2 − 2 x + 3 ) ( x2 + 2 x − 3 );
4) (a + 2b − c)(a − 3b + 2c);
5) ( a + b ) ( a3 − a2 b + a b2 − b3 );
6) ( x − 1 ) ( x4 + x3 + x2 + x + 1 ).
Решение:
1) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x − 4 ) = ( x2 + 2 x − x − 2 ) ( x − 4 ) = x3 + 2 x2 − x2 − 2 x − 4 x2 − 8 x + 4 x + 8 = x3 + ( 2 x2 − x2 − 4 x2 ) + ( − 2 x − 8 x + 4 x ) + 8 = x3 − 3 x2 − 6 x + 8
2) ( 2 x + 1 ) ( x + 5 ) ( x − 6 ) = ( 2 x2 + x + 10 x + 5 ) ( x − 6 ) = 2 x3 + x2 + 10 x2 + 5 x − 12 x2 − 6 x − 60 x − 30 = 2 x3 + ( x2 + 10 x2 − 12 x2 ) + ( 5 x − 6 x − 60 x ) − 30 = 2 x3 − x2 − 61 x
3) ( x2 − 2 x + 3 ) ( x2 + 2 x − 3 ) = x4 − 2 x3 + 3 x2 + 2 x3 − 4 x2 + 6 x − 3 x2 + 6 x − 9 = x4 − ( − 2 x3 + 2 x3 ) + ( 3 x2 − 4 x2 − 3 x2 ) + ( 6 x + 6 x ) − 9 = x4 − 4 x2 + 12 x − 9
4) ( a + 2 b − c ) ( a − 3 b + 2 c ) = a2 − 3 a b + 2 a c + 2 a b − 6 b2 + 4 b c − a c + 3 b c − 2 c2 = a2 + ( − 3 a b + 2 a b ) + ( 2 a c − a c ) + ( 4 b c + 3 b c ) − 6 b2 − 2 c2 = a2 − a b + a c + 7 b c − 6 b2 − 2 c2
5) ( a + b ) ( a3 − a2 b + a b2 − b3 ) = a4 − a3 b + a2 b2 − a b3 + a3 b − a2 b2 + a b3 − b4 = a4 + ( − a3 b + a3 b ) + ( a2 b2 − a2 b2 ) + ( − a b3 + a b3 ) − b4 = a4 + 0 + 0 + 0 − b4 = a4 − b4
6) ( x − 1 ) ( x4 + x3 + x2 + x + 1 ) = x5 + x4 + x3 + x2 + x − x4 − x3 − x2 − x − 1 = x5 + ( x4 − x4 ) + ( x3 − x3 ) + ( x2 − x2 ) + ( x − x ) − 1 = x5 + 0 + 0 + 0 + 0 − 1 = x5 − 1
Задание №401
Преобразуйте в многочлен выражение:
1) (a + 1)(a − 2)(a − 3);
2) (3a − 2)(a + 3)(a − 7);
3) ( a2 − 2 a + 1 ) ( a2 + 3 a − 2 );
4) ( a + 1 ) ( a4 − a3 + a2 − a + 1 ).
Решение:
1) ( a + 1 ) ( a − 2 ) ( a − 3 ) = ( a2 + a − 2 a − 2 ) ( a − 3 ) = ( a2 − a − 2 ) ( a − 3 ) = a3 − a2 − 2 a − 3 a2 + 3 a + 6 = a3 + ( − a2 − 3 a2 ) + ( − 2 a + 3 a ) + 6 = a3 − 4 a2 + a + 6
2) ( 3 a − 2 ) ( a + 3 ) ( a − 7 ) = ( 3 a2 − 2 a + 9 a − 6 ) ( a − 7 ) = ( 3 a2 + 7 a − 6 ) ( a − 7 ) = 3 a3 + 7 a2 − 6 a − 21 a2 − 49 a + 42 = 3 a3 + ( 7 a2 − 21 a2 ) + ( − 6 a − 49 a ) + 42 = 3 a3 − 14 a2 − 55 a + 42
3) ( a2 − 2 a + 1 ) ( a2 + 3 a − 2 ) = a4 − 2 a3 + a2 + 3 a3 − 6 a2 + 3 a − 2 a2 + 4 a − 2 = a4 + ( − 2 a3 + 3 a3 ) + ( a2 − 6 a2 − 2 a2 ) + ( 3 a + 4 a ) − 2 = a4 + a3 − 7 a2 + 7 a − 2
4) ( a + 1 ) ( a4 − a3 + a2 − a + 1 ) = a5 − a4 + a3 − a2 + a + a4 − a3 + a2 − a + 1 = a5 + ( − a4 + a4 ) + ( a3 − a3 ) + ( − a2 + a2 ) + ( a − a ) + 1 = a5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = a5 + 1
Задание №402
Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:
1) ( a + 5 )2;
2) ( 4 − 3 b )2;
3) ( a + b + c )2;
4) ( a − b )3.
Решение:
1) ( a + 5 )2 = ( a + 5 ) ( a + 5 ) = a2 + 5 a + 5 a + 25 = a2 + 10 a + 25
2) ( 4 − 3 b )2 = ( 4 − 3 b ) ( 4 − 3 b ) = 16 − 12 b − 12 b + 9 b2 = 9 b2 − 24 b + 16
3) ( a + b + c )2 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a2 + a b + a c + a b + b2 + b c + a c + b c + c2 = a2 + b2 + c2 + ( a b + a b ) + ( a c + a c ) + ( b c + b c ) = a2 + b2 + c2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c
4) ( a − b )3 = ( a − b ) ( a − b ) ( a − b ) = ( a2 − a b − a b + b2 ) ( a − b ) = ( a2 − 2 a b + b2 ) ( a − b ) = a3 − 2 a2 b + a b2 − a2 b + 2 a b2 − b3 = a3 + ( − 2 a2 b − a2 b ) + ( a b2 + 2 a b2 ) − b3 = a3 − 3 a2 b + 3 a b2 − b3
Задание №403
Докажите, что при любом значении переменной значение выражения
( x + 3 ) ( x2 − 4 x + 7 ) − ( x2 − 5 ) ( x − 1 ) равно 16.
Решение:
( x + 3 ) ( x2 − 4 x + 7 ) − ( x2 − 5 ) ( x − 1 ) = ( x3 − 4 x2 + 7 x + 3 x2 − 12 x + 21 ) − ( x3 − 5 x − x2 + 5 ) = x3 − 4 x2 + 7 x + 3 x2 − 12 x + 21 − x3 + 5 x + x2 − 5 = ( x3 − x3 ) + ( − 4 x2 + 3 x2 + x2 ) + ( 7 x − 12 x + 5 x ) + ( 21 − 5 ) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16, следовательно при любом значении переменной значение выражения равно 16.
Задание №404
Докажите, что при любом значении переменной значение выражения
( x − 3 ) ( x2 + 7 ) − ( x − 2 ) ( x2 − x + 5 ) равно −11.
Решение:
( x − 3 ) ( x2 + 7 ) − ( x − 2 ) ( x2 − x + 5 ) = ( x3 + 7 x − 3 x2 − 21 ) − ( x3 − x2 + 5 x − 2 x2 + 2 x − 10 ) = x3 + 7 x − 3 x2 − 21 − x3 + x2 − 5 x + 2 x2 − 2 x + 10 = ( x3 − x3 ) + ( − 3 x2 + x2 + 2 x2 ) + ( 7 x − 5 x − 2 x ) + ( − 21 + 10 ) = 0 + 0 + 0 − 11 = − 11, следовательно при любом значении переменной значение выражения равно −11.
Задание №405
Задумали четыре натуральных числа. Второе число на 1 больше первого, третье − на 5 больше второго, а четвертое − на 2 больше третьего. Найдите эти числа, если отношение первого числа к третьему равно отношению второго числа к четвертому.
Решение:
Пусть первое число равно x, тогда (x + 1) − второе число, (x + 1 + 5 = x + 6) − третье число, (x + 6 + 2 = x + 8) − четвертое число.
Составим уравнение:
$\frac x{x+6}=\frac{x+1}{x+8}$
x(x + 8) = (x + 6)(x + 1)
x2 + 8 x = x2 + 6 x + x + 6
x 2 − x2 + 8 x − 6 x − x = 6
x = 6 − первое число
x + 1 = 6 + 1 = 7 − второе число;
x + 6 = 6 + 6 = 12 − третье число;
x + 8 = 6 + 8 = 14 − четвертое число.
Ответ: 7, 12 и 14.
Задание №406
Задумали три натуральных числа. Второе число на 4 больше первого, а третье − на 6 больше второго. Найдите эти числа, если отношение первого числа ко второму равно отношению второго числа к третьему.
Решение:
Пусть первое число равно x, тогда (x + 4) − второе число, (x + 4 + 6 = x + 10) − третье число.
Составим уравнение:
$\frac x{x+4}=\frac{x+4}{x+10}$
x(x + 10) = (x + 4)(x + 4)
x2 + 10 x = x2 + 4 x + 4 x + 16
x2 − x2 + 10 x − 4 x − 4 x = 16
2x = 16
x = 16 : 2
x = 8 − первое число
x + 4 = 8 + 4 = 12 − второе число;
x + 10 = 8 + 10 = 18 − третье число.
Ответ: 8, 12 и 18.
