Задание № 247

Известно, что сумма 625 + 625 + ... + 625 равна 5 101. Сколько слагаемых в этой сумме?

Решение:

625 + 625 + ... + 625 =

5 101
625 = 5 4
5 4 + 5 4  + ... + 5 4 = 5 101
n = 5 101 : 5 4
n = 5 101 − 4
n = 5 97
Ответ: 97 слагаемых.

Задание № 248

Какой цифрой оканчивается значение выражения (n − натуральное число):

1) 4 100;
2) 3 4n;
3) 4 n;
4) 3 n?

Решение:

1) 4 100 = ( 4 2 ) 50 = 16 50, следовательно значение выражения 4 100, оканчивается цифрой 6, так как у числа 16 последняя цифра 6, а произведение двух чисел с цифрой 6 на конце, также имеет цифру 6 на конце.

2) 3 4 n = ( 3 4 ) n = 81 n, следовательно значение выражения 3 4n, оканчивается цифрой 1, так как у числа 81 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.

3) Если n − четное число, то выражение
4 n можно представить в виде произведения, содержащего четное количество чисел 4:
4 n = ( 4 ∗ 4 ) ( 4 ∗ 4 ) ∗ . . . ∗ ( 4 ∗ 4 ), так как 4 * 4 = 16, то последней цифрой выражения 4 n является цифра 6.
Если n − нечетное число, то выражение 4 n можно представить в виде произведения, содержащего нечетное количество чисел 4:
4 n = ( 4 ∗ 4 ) ( 4 ∗ 4 ) ∗ . . . ∗ ( 4 ∗ 4 ) ∗ 4, так как (4 * 4) * 4 = 16 * 4 = 64, то последней цифрой выражения 4 n является цифра 4.

4) 
3 1 = 3;
3 2 = 9;
3 3 = 27;
3 4 = 81;
3 5 = 243;
3 6 = 729;
3 7 = 2187;
3 8 = 6561 , 
значит, значение выражения 3 n может оканчиваться на цифры 3; 9; 7; 1.

Задание № 249

Какой цифрой оканчивается значение выражения (n − натуральное число):

1) 9 2n;
2) 7 4n;
3) 7 2n?

Решение:

1) 9 2n = ( 9 2 ) n = 81 n, следовательно значение выражения 3 4n, оканчивается цифрой 1, так как у числа 81 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.

2) 7 4n = ( 7 4 ) n = 2401 n, следовательно значение выражения 3 4n, оканчивается цифрой 1, так как у числа 2401 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.

3) 7 2n = ( 7 2 ) n = 49 n, тогда:
если n − четное число, то выражение 49 n можно представить в виде произведения, содержащего четное количество чисел 49:
49 n = ( 49 ∗ 49 ) ( 49 ∗ 49 ) ∗ . . . ∗ ( 49 ∗ 49 ), так как 49 * 49 = 2401, то последней цифрой выражения 7 4n является цифра 1;
если n − нечетное число, то выражение 49 n можно представить в виде произведения, содержащего нечетное количество чисел 49:
4 n = ( 49 ∗ 49 ) ( 49 ∗ 49 ) ∗ . . . ∗ ( 49 ∗ 49 ) ∗ 49, так как (49 * 49) * 49 = 2401 * 49 = 117649, то последней цифрой выражения 7 4n является цифра 9.

Задание № 250

Докажите, что значение выражения:

1) 17 8 + 19 делится нацело на 10;
2) 64 64 − 1 делится нацело на 5;
3) 3 4n + 14, где n−натуральное число, делится нацело на 5.

Решение:

1) Найдем цикл повторения последней цифры равной 7 при возведении числа 17 в степень по порядку:
7 2 = 49;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения 7 3, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 7, тогда:
7 3 − последняя цифра 3, так как 9 * 7 = 63;
7 4 − последняя цифра 1, так как 3 * 7 = 21;
7 5 − последняя цифра 7, так как 1 * 7 = 7;
7 6 − последняя цифра 9, так как 7 * 7 = 49;
7 7 − последняя цифра 3, так как 9 * 7 = 63;
7 8 − последняя цифра 1, так как 3 * 7 = 21, а так как 1 + 19 = 20, то значение выражения 17 8 + 19 оканчивается на 0, следовательно делится нацело на 10.

2) Найдем цикл повторения последней цифры равной 4 при возведении числа 64 в степень по порядку:
4 2 = 16;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения 4 3, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:
4 3 − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 4 − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;
4 5 − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 6 − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 64 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении 64 64 показатель степени четное число, то значение выражения 64 64 будет оканчиваться на цифру 6.
Так как 6 − 1 = 5, то значение выражения 64 64 − 1 будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.

3) 3 4n = ( 3 4 ) n = 81 n, следовательно значение выражения 3 4n, оканчивается цифрой 1, так как у числа 81 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.
Так как 1 + 14 = 15, то значение выражения 3 4n + 14 будет оканчиваться на 5, а следовательно и делиться нацело на 5.

Задание № 251

Докажите, что значение выражения:

1) 4 40 − 1;
2) 2004 171 + 171 2004 делится нацело на 5.

Решение:

1) Найдем цикл повторения последней цифры при возведении числа 4 в степень по порядку:
4 2 = 16;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения 4 3, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:
4 3 − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 4 − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;
4 5 − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 6 − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 4 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении 4 40 показатель степени четное число, то значение выражения 40 4 будет оканчиваться на цифру 6.
Так как 6 − 1 = 5, то значение выражения 4 40 − 1 будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.

2) Найдем цикл повторения последней цифры равной при возведении числа 2004 в степень по порядку:
4 2 = 16;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения 4 3, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:
4 3 − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 4 − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;
4 5 − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 6 − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 4 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении 2004 171 показатель степени нечетное число, то значение выражения 2004 171 будет оканчиваться на цифру 4.
Последней цифрой значения выражения 171 2004 будет 1, так как у числа 171 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.
Если сложить последние цифры значения выражений 2004 171 и 171 2004 получаем 5 = 4 + 1. Следовательно значение выражения 2004 171 + 171 2004 будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.

Задание № 252

Докажите, что

48 25 < 344 17.

Решение:

48 25 < 336 17
(6 * 8) 25 < (6 * 7 * 8) 17
6 25 * 8 25 < 6 17 * 7 17 * 8 17
Избавимся от одинаковых величин
25-17 * 8 25-17 <   7 17 
6 8 * 8 8 < 7 17
48 8 < (7 2) 8 * 7
48 8 < 49 8 * 7
значит, 48 25 < 344 17

Задание № 253

(Задача из русского фольклора.) Кум Иван спросил у кума Степана: "Сколько у тебя уток?" Кум Степан ответил: "Уток у меня столько, что как высидят они мне еще столько утят, да еще куплю одну утку, да еще трижды куплю столько, сколько этих уток и утят, то всего будет их у меня 100". Сколько уток было у кума Степана?

Решение:

Пусть было x уток, тогда  утят тоже х; (x + 1) уток после покупки еще одной утки; 3(x + x + 1) = 3(2x + 1) = 6x + 3 дополнительно купленных уток и утят.
Составим уравнение:
(x + 1) + x + (6x + 3) = 100
x + 1 + x + 6x + 3 = 100
x + x + 6x = 100 − 3 − 1
8x = 96
x = 96 : 8
х = 12
Значит, 12 уток было у кума Степана.
Ответ: 12 уток.

Задание № 254

Один маляр может покрасить комнату за 6 ч, а другой − за 4 ч. Сначала первый маляр работал 2 ч, а потом к нему присоединился второй маляр. За сколько часов была покрашена комната?

Решение:

Пусть вся комната равна 1, тогда:
1/6 комнаты может покрасить первый маляр за 1 ч;
1/4 комнаты может покрасить второй маляр за 1 ч;
1/6 + 1/4 =  5/12 комнаты могут покрасить оба маляра за 1 ч работая вместе;
1/6 ∗ 2 = 2/6 = 1/3 комнаты покрасил первый маляр за 2 часа;
1 − 1/3 = 2/3 комнаты осталось покрасить двум малярам;
2/3 : 5/12 = 2/3 ∗ 12/5 = 2/1 ∗ 4/5 = 8/5 = 1 3/5 = 1 36/60 часа или 1 час 36 минут будут докрашивать комнату оба маляра.
2 + 1 ч 36 мин = 3 часа 36 минут потребовалось на покраску комнаты.
Ответ: за 3 часа 36 минут.

Задание № 255

От пристани по течению реки отправились на лодке группа туристов, рассчитывая вернуться через 4 ч. Скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч, а скорость течения − 2 км/ч. На какое наибольшее расстояние туристы могут отплыть от пристани, если они хотят перед возвращением сделать привал на 2 ч?

Решение:

10 + 2 = 12 (км/ч) - скорость лодки по течению;
10 − 2 = 8 (км/ч) - скорость лодки против течения;
4  − 2  = 2 (ч) - туристы будут непосредственно двигаться по реке.
Пусть t ч времени двигались туристы по течению реки, тогда (2 − t) ч времени двигались туристы обратно против течения; 12t км проплыли туристы по течению; 8(2 − t) = 16 − 8t км проплыли туристы против течения; а  расстояние туда и обратно равно.
Составим уравнение:
12t = 16 − 8t
12t + 8t = 16
20t = 16
t = 16/20
t = 0,8
Значит, 0,8 ч  туристы двигались по течению реки
12 * 0,8 = 9,6 (км) - наибольшее расстояние на которое могут отплыть от пристани туристы.
Ответ: на 9,6 км.

Задание № 256

Решите уравнение:
1) 2,5 − 3x = 3(x − 2,5) − 2;
2) 17(2 − 3x) − 5(x + 12) = 8(1 − 7x) − 34.

Решение

1) 2,5 − 3x = 3(x − 2,5) − 2
2,5 − 3x = 3x − 7,5 − 2
−3x − 3x = − 7,5 − 2 − 2,5
−6x = −12
x = −12 : −6
x = 2

2) 17(2 − 3x) − 5(x + 12) = 8(1 − 7x) − 34
34 − 51x − 5x − 60 = 8 − 56x − 34
−51x − 5x + 56x = 8 − 34 + 60 − 34
0 = 0
х - любое число.

Задание № 257

В шестизначном числе первая и четвертая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.

Решение:

Заменим цифры на буквенные значения, тогда:
первая цифра = четвертая цифра = a;
вторая цифра = пятая цифра = b;
третья цифра = шестая цифра = c.
Получаем число: abcabc.
На 7, 11 и 13 делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным последними 3 цифрами и числом, выраженными остальными цифрами (или наоборот) делится соответственно на 7, 11 или на 13.
Следовательно: abc − abc = 0, а 0 делится на любое число не равное нулю. Исходя из этого видим, что шестизначное число будет делиться на 7, 11 и 13.