Задание 74 (учебник 2019 года)
Один работник может выполнить задание за 45 ч, а другому для этого надо в 1 1/2 раза меньше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?
Решение
$45:1\frac12=45:\frac32=45\ast\frac23=15\ast2=30$ (ч) - необходимо второму работнику на выполнение задания.
Пусть все задание равно 1, тогда:
$\frac1{45}$ задания выполнит первый работник за 1 час;
$\frac1{30}$ задания выполнит второй работник за 1 час;
$\frac1{45}+\frac1{30}=\frac2{90}+\frac3{90}=\frac5{90}=\frac1{18}$ задания выполнят совместно оба работника за 1 час;
$1:\frac1{18}=18$ (ч) - потребуется на выполнение задания двум работникам при совместной работе
$\frac1{45}\ast18=\frac{18}{45}=\frac25$ задания выполнит первый работник;
$\frac1{30}\ast18=\frac{18}{30}=\frac35$ задания выполнит второй работник.
Ответ: за 18 часов, $\frac25$ и $\frac35$ задания.
Задание 75 (учебник 2018 года)
За первый день Вася прочел 8/15 страниц книги, за второй − 5/12 страниц книги и за третий день − оставшиеся 12 страниц. Сколько страниц в этой книге?
Решение
Пусть в книге x страниц, тогда $\frac8{15}x$ страниц прочитал Вася в первый день;
$\frac5{12}x$ страниц прочитал Вася во второй день, а после двух дней осталось прочитать 12 страниц.
Составим уравнение:
$x-\frac8{15}x-\frac5{12}x=12$
$\frac{60}{60}-\frac{32}{60}x-\frac{25}{60}x=12$
$\frac3{60}x=12$
$\frac1{20}x=12$
$x=12:\frac1{20}$
x = 12 * 20
х = 240
Значит, 240 страниц в книге.
Ответ: 240 страниц.
Задание 75
(Из книги Об индийском счёте и аль-Хорезми) Если из числа вычесть его треть и его четверть, то получится 8. Найдите число.
Решение
Пусть х - искомое число
Составим уравнение:
х - 1/3х - 1/4х = 8
х - (1/3х + 1/4х) = 8
х - (7/12х) = 8
5/12х = 8
х = 8 : 5/12
х = 96/5
х = 19,2
Проверка:
1/3 * 19,2 = 6,4
1/4 * 19,2 = 4,8
19,2 - 6,4 - 4,8 = 8
Задание 76
Известно, что n − натуральное число. Каким числом, четным или нечетным, является значение выражения:
1) 4n;
2) 2n − 1;
3) n(n + 1)?
Решение
1) 4n − четное число, так 4 - четное, и при его умножении на любое число результат будет четным.
2) 2n − 1 − нечетное число, так как 2n − четное число, а если из четного вычесть 1, результат будет нечетным.
3) n(n + 1) − четное, так как:
1) если n − четное число, то (n + 1) − нечетное число, но при умножении на четное n результат будет четным;
2) если n − нечетное число, то (n + 1) − четное число, а любое число, умноженное на четное, будет тоже четным.
Задание 77
Верно ли, что при любом значении a:
1) 2a > a;
2) 2|a| > |a|?
Решение
1) 2a > a
верно при любом a > 0;
не верно при любом a < 0;
не верно при a = 0.
2) 2|a| > |a|
верно при любом a > 0;
верно при любом a < 0;
не верно при a = 0.
Задание 78
Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
Решение
Наибольшее шестизначное число 999 999, а наибольшее пятизначное 99 999, найдем количество шестизначных чисел:
999999 – 99999 = 900 000 = 9·105
Из них чисел, в которых все цифры нечётные, 56 , так как нечетных цифр 5, а знаков в числе 6.
Остаётся 9·105 – 56 чисел, содержащих хотя бы одну чётную цифру.
9·105 – 56 = 900 000 - 15 625 = 884 375 чисел, содержащих хотя бы одну чётную цифру.
