Задание 262. Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите ее:
а) $\frac{4xy}{5yz}$;
б) $\frac{15km}{10nm}$;
в) $\frac{8ab}{12abc}$;
г) $\frac{7xyz}{21xz}$;
д) $\frac{6mnk}{9knp}$;
е) $\frac{2x^2}{3x}$;
ж) $\frac{4a}{6a^2}$;
з) $\frac{10c^3}{12c}$.
Решение
а) $\frac{4xy}{5yz} = \frac{4xy : y}{5yz : y} = \frac{4x}{5z}$
б) $\frac{15km}{10nm} = \frac{15km : (5m)}{10nm : (5m)} = \frac{3k}{2n}$
в) $\frac{8ab}{12abc} = \frac{8ab : (4ab)}{12abc : (4ab)} = \frac{2}{3c}$
г) $\frac{7xyz}{21xz} = \frac{7xyz : (7xz)}{21xz : (7xz)} = \frac{y}{3}$
д) $\frac{6mnk}{9knp} = \frac{6mnk : (3nk)}{9knp : (3nk)} = \frac{2m}{3p}$
е) $\frac{2x^2}{3x} = \frac{2x^2 : (x)}{3x : (x)} = \frac{2x}{3}$
ж) $\frac{4a}{6a^2} = \frac{4a : (2a)}{6a^2 : (2a)} = \frac{2}{3a}$
з) $\frac{10c^3}{12c} = \frac{10c^3 : (2c)}{12c : (2c)} = \frac{5c^2}{6}$
Задание 263. Ответьте на вопрос, воспользовавшись приведенным образцом:
а) Одну сторону прямоугольника увеличили в 2 раза, а другую − в 1,5 раза. Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника?
б) Длины ребер прямоугольного параллелепипеда увеличили соответственно в 2, 3 и 4 раза. Во сколько раз увеличился его объем?
в) Длину ребра куба увеличили в 10 раз. Во сколько раз увеличился объем?
Образец.
Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?
Обозначим сторону квадрата буквой a, тогда его площадь равна $a^2$, а площадь нового квадрата равна $(3a)^2 = 3a * 3a = 9a^2$. Найдем отношение площадей квадратов: $\frac{9a^2}{a^2} = 9$. Таким образом, площадь увеличилась в 9 раз.
Решение от 7 гуру
а) Пусть x − одна сторона прямоугольника, y − вторая сторона прямоугольника, тогда:
xy − площадь прямоугольника;
2x − одна сторона нового прямоугольника;
1,5y − другая сторона прямоугольника;
2x * 1,5y = 3xy − площадь нового прямоугольника.
Найдем отношение площадей прямоугольников:
$\frac{3xy}{xy} = 3$
Ответ: площадь прямоугольника увеличилась в 3 раза.
б) Пусть x − длина прямоугольного параллелепипеда, y − ширина прямоугольного параллелепипеда, z − высота прямоугольного параллелепипеда, тогда:
xyz − объем прямоугольного параллелепипеда;
2x − стала длина прямоугольного параллелепипеда;
3y − стала ширина прямоугольного параллелепипеда;
4z − стала высота прямоугольного параллелепипеда;
2x * 3y * 4z = 24xyz − стал объем прямоугольного параллелепипеда.
Найдем отношение объемов прямоугольных параллелепипедов:
$\frac{24xyz}{xyz} = 24$
Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда увеличился в 24 раза.
в) Пусть x − ребро куба, тогда:
$x * x * x = x^3$ − объем куба;
10x − стало ребро куба;
$10x * 10x * 10x = 1000x^3$ − стал объем куба.
Найдем отношение объемов кубов:
$\frac{1000x^3}{x^3} = 1000$
Ответ: объем куба увеличился в 1000 раз.
Задание 264. Известно, что k − нечетное число. Четным или нечетным являются число:
k + k + k + k + k;
k + k + k + k + 10;
(k + k)(k + k + k)?
Решение
k + k + k + k + k = 5k − число нечетное, как произведение двух нечетных чисел;
k + k + k + k + 10 = 4k + 10 = 2(2k + 5) − число четное, так как является произведением четного и нечетного числа;
$(k + k)(k + k + k) = 2k * 3k = 6k^2$ − число нечетное, как произведение четного и нечетного числа.
Задание 265. Пусть a − четное число, а b − нечетное. Четным или нечетным является число:
a + a + a + b + b;
a + a + b + b + b?
Решение
a + a + a + b + b = 3a + 2b
т.к. a − четное число, то 3a − четное число,
т.к. b − нечетное число, то 2b − четное число, сумма двух четных чисел является четным числом, поэтому
a + a + a + b + b = 3a + 2b − четное число.
a + a + b + b + b
т.к. a − четное число, то 2a − четное число,
т.к. b − нечетное число, то 3b − нечетное число, сумма четного и нечетного чисел является нечетным числом, потому a + a + b + b + b = 2a + 3b − нечетное число.
Задание 266. Чему равна сумма 15 последовательных натуральных чисел, первое из которых равно n?
Решение
n − первое число;
(n + 1) − второе число;
(n + 2) − третье число;
...
(n + 13) − четырнадцатое число;
(n + 14) − пятнадцатое число.
Составим сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 13) + (n + 14) = n + n + n + ... + n + 1 + 2 + 3 + ... + 13 + 14 = 15n + (1 + 14) + (2 + 13) + ... + (7 + 8) = 15n + 15 * 7 = 15(n + 7) − сумма.
Ответ: 15(n + 7) .
Задание 267. В первом ряду амфитеатра a мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре, если он состоит:
а) из 5 рядов;
б) из 10 рядов?
Решение
а) a (мест) − в 1 ряду;
(a + 2) (мест) − во 2 ряду;
(a + 4) (мест) − в 3 ряду;
(a + 6) (мест) − в 4 ряду;
(a + 8) (мест) − в 5 ряду, тогда всего в амфитеатре:
a + (a + 2) + (a + 4) + (a + 6) + (a + 8) = a + a + a + a + a + 2 + 4 + 6 + 8 = 5a + 20 (мест) − всего.
Ответ: 5a + 20 мест.
б) a (мест) − в 1 ряду;
(a + 2) (мест) − во 2 ряду;
(a + 4) (мест) − в 3 ряду;
(a + 6) (мест) − в 4 ряду;
...
(a + 16) (мест) − в 9 ряду;
(a + 18) (мест) − в 10 ряду, тогда всего в амфитеатре:
a + (a + 2) + (a + 4) + ... + (a + 16) + (a + 18) = a + a + a + ... + a + 2 + 4 + ... + 16 + 18 = 10a + (2 + 18) + (4 + 16) + ... + (8 + 12) + 10 = 10a + 90 (мест) − в амфитеатре.
Ответ: 10a + 90 мест.
Задание 268. Упростите произведение:
а) $6a(ab)^2b^3$;
б) $(xy)^2 * (xy^3)$;
в) $a(-ac)^2$;
г) $-с(cd)^2$;
д) $-z(-x^2)(-xz)$;
е) $ab^2(ab)^2$.
Решение
а) $6a(ab)^2b^3 = 6aa^2b^2b^3 = 6a^3b^5$
б) $(xy)^2 * (xy^3) = x^2y^2x^3y^3 = x^5y^5$
в) $a(-ac)^2 = a(-a)^2c^2 = a^3c^2$
г) $-с(cd)^2 = -cc^2d^2 = -c^3d^2$
д) $-z(-x^2)(-xz) = -x^2xzz = -x^3z^2$
е) $ab^2(ab)^2 = ab^2a^2b^2 = a^3b^4$
