Задание 183. В любой окружности отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же и приближенно равно $\frac{22}{7}$.
а) Определите длину окружности, диаметр которой равен 3 см.
б) При каком диаметре длина окружности равна 10 см?
(Ответы округляйте до десятых.)

Решение

а) $\frac{C}{d} = \frac{22}{7}$
d = 3 см
$С = \frac{22 * d}{7} = \frac{22 * 3}{7} = \frac{66}{7} ≈ 9,4$ (см) − длина окружности.
Ответ: 9,4 см

б) $\frac{C}{d} = \frac{22}{7}$
C = 10 см
$d = \frac{7C}{22} = \frac{7 * 10}{22} = \frac{35}{11} ≈ 3,2$ (см) − диаметр окружности.
Ответ: 3,2 см.

Задание 184. а) Если в стакан насыпать 8 столовых ложек сахара, то заполнится $\frac{2}{3}$ стакана. Хватит ли 11 столовых ложек сахара, чтобы наполнить стакан?
б) Автомобиль проехал 280 км, затратив 21 л бензина. Хватит ли бака бензина, вмещающего 40 л, чтобы проехать 500 км?

Решение от 7 гуру

а) Пусть x (стакана) − наполнят 11 столовых ложек.
8 ложек − $\frac{2}{3}$ стакана
11 ложек − x стакана
Прямая пропорциональность.
$\frac{8}{11} = \frac{\frac{2}{3}}{x}$
$x = \frac{11\frac{2}{3}}{8} = \frac{22}{3} * \frac{1}{8} = \frac{11}{12}$ (стакана) − наполнят 11 столовых ложек.
$\frac{11}{12} < 1$ − значит 11 столовых ложек сахара не хватит, чтобы наполнить стакан.
Ответ: нет, не хватит

б) Пусть x (л) − бензина потребуется на 500 км.
280 км − 21 л
500 км − x л
Прямая пропорциональность.
$\frac{280}{500} = \frac{21}{x}$
$x = \frac{500 * 21}{280} = 37,5$ (л) − бензина потребуется на 500 км.
37,5 < 40 − значит, бака бензина хватит.
Ответ: да, хватит.

Задание 185. Рассчитайте рецепт приготовления блюда:
а) Для 4 порций приправы требуется $\frac{1}{3}$ чайной ложки соли, $\frac{1}{4}$ чайной ложки перца и $\frac{1}{2}$ чайной ложки гвоздики. Сколько соли, перца и гвоздики потребуется для 30 порций?
б) В соответствии с рецептом пирога на 4 яйца требуется 1,5 стакана сахарного песка и $\frac{2}{3}$ стакана муки. Сколько сахарного песка и муки потребуется, если тесто готовится из 9 яиц?

Решение

а) 1) $30 : 4 = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ (раза) − стало больше порций (прямая пропорциональность), тогда для приготовления 30 порций потребуется:
2) $7\frac{1}{2} * \frac{1}{3} = \frac{15}{2} * \frac{1}{3} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ (ч.л.) − соли;
3) $7\frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{15}{2} * \frac{1}{4} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$ (ч.л.) − перца;
4) $7\frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{15}{2} * \frac{1}{2} = \frac{15}{4} = 3\frac{1}{4}$ (ч.л.) − гвоздики.
Ответ: $2\frac{1}{2}$ ч.л. соли,
$1\frac{7}{8}$ ч.л. перца,
$3\frac{1}{4}$ ч.л. гвоздики.

б) 1) $9 : 4 = 2\frac{1}{4}$ (раза) − стало больше яиц (прямая пропорциональность), тогда для теста из 9 яиц потребуется:
2) $2\frac{1}{4} * 1,5 = \frac{9}{4} * \frac{3}{2} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$ (стакана) − сахарного песка;
3) $2\frac{1}{4} * \frac{2}{3} = \frac{9}{4} * \frac{2}{3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ (стакана) − муки.
Ответ: $3\frac{3}{8}$ стакана сахарного песка,
$1\frac{1}{2}$ стакана муки.

Задание 186. Прочитайте задачу: "Если ехать на автомобиле со скоростью 65 км/ч, то от одного поселка до другого можно проехать за 20 мин. Велосипедист проехал этот же путь за 2 ч. С какой скоростью ехал велосипедист?"
В каком случае пропорция по условию задачи составлена правильно, если буквой x обозначена скорость велосипедиста (в км/ч)?
1) $65 : x = \frac{1}{3} : 2$;
2) $x : 65 = 2 : \frac{1}{3}$;
3) 65 : x = 2 : 20;
4) $65 : x = 2 : \frac{1}{3}$.

Решение

Это обратная пропорциональность.
Пропорция составлена верно в случае 4) $65 : x = 2 : \frac{1}{3}$, тогда:
$x = \frac{65 * \frac{1}{3}}{2} = \frac{65}{3} * \frac{1}{2} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$ (км/ч) − скорость велосипедиста.
Ответ: $10\frac{5}{6}$ км/ч.

Задание 187. Составьте различные пропорции, используя следующие произведения:
а) 4 * 8 = 2 * 16;
б) 25 * 3 = 15 * 5;
в) 6 * 9 = 3 * 18;
г) 4,8 * 0,4 = 1,6 * 1,2.

Решение

а) 4 * 8 = 2 * 16
1) 4 : 16 = 2 : 8;
2) 16 : 4 = 8 : 2;
3) 16 : 8 = 4 : 2;
4) 8 : 16 = 2 : 4.

б) 25 * 3 = 15 * 5
1) 25 : 5 = 15 : 3;
2) 5 : 25 = 3 : 15;
3) 25 : 15 = 5 : 3;
4) 3 : 15 = 5 : 25.

в) 6 * 9 = 3 * 18
1) 6 : 3 = 18 : 9;
2) 6 : 18 = 3 : 9;
3) 9 : 3 = 18 : 6;
4) 9 : 18 = 3 : 6.

г) 4,8 * 0,4 = 1,6 * 1,2
1) 4,8 : 1,6 = 1,2 : 0,4;
2) 4,8 : 1,2 = 1,6 : 0,4;
3) 0,4 : 1,2 = 1,6 : 4,8;
4) 0,4 : 1,6 = 1,2 : 4,8.

Задание 188. Для каждой тройки чисел найдите четвертое число так, чтобы из этих четырех чисел можно было составить пропорцию:
а) 20, 5, 7;
б) 10, 16, 3.
Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае?

Решение

а) 1)
20 : 5 = 4;
4 * 7 = 28, значит:
20 : 5 = 28 : 7.
2)
$20 : 7 = \frac{20}{7}$;
$5 * \frac{20}{7} = \frac{100}{7} = 14\frac{2}{7}$, значит:
$\frac{20}{7} = \frac{14\frac{2}{7}}{5}$.
3)
$20 : 7 = \frac{20}{7}$;
$5 : \frac{20}{7} = 5 * \frac{7}{20} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$, значит:
$\frac{20}{7} = \frac{5}{1\frac{3}{4}}$.
Ответ: 3 числа: 28; $14\frac{2}{7}$; $1\frac{3}{4}$.

б) 1)
$16 : 10 = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$;
$3 * \frac{8}{5} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4,8$, значит:
16 : 10 = 4,8 : 3.
2)
$16 : 3 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$;
$10 : \frac{16}{3} = 10 * \frac{3}{16} = 5 * \frac{3}{8} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} = 1,875$, значит:
16 : 3 = 10 : 1,875.
3)
$10 : 3 = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$;
$16 * \frac{10}{3} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3}$, значит:
$10 : 3 = 53\frac{1}{3} : 16$.
Ответ: 3 числа: 4,8; 1,875; $53\frac{1}{3}$.