Задание 67. Лист бумаги 6 раз перегнули пополам. Чему будет равна толщина сложения, если толщина листа бумаги 0,1 мм? Запишите ответ, используя степень числа 2, и вычислите значение получившегося выражения.
Решение
1 сгиб − 2 листа;
2 сгиб − 4 листа;
3 сгиб − 8 листов;
4 сгиб − 16 листов;
5 сгиб − 32 листа;
6 сгиб − 64 листа.
$64 = 2^6$
$0,1 * 2^6 = 0,1 * 0,64 = 6,4$ (мм) − толщина сложения.
Ответ: 6,4 мм
Задание 68. Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям, как показано на рисунке 1.6. На каждом шаге закрашивается половина незакрашенной части.
1) Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части. Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке.
2) Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата, получившейся на десятом шаге; на сотом шаге.
3) Используйте полученный результат для вычисления значения выражения:
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + ... + (\frac{1}{2})^{10}$.
Решение
1) 3 квадрат:
$1 - (\frac{1}{2})^3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ или
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4 + 2 + 1}{8} = \frac{7}{8}$.
4 квадрат:
$1 - (\frac{1}{2})^4 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ или
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 4 + 2 + 1}{16} = \frac{15}{16}$.
5 квадрат:
$1 - (\frac{1}{2})^5 = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$ или
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = \frac{16 + 8 + 4 + 2 + 1}{32} = \frac{31}{32}$.
2) 10 шаг:
$1 - (\frac{1}{2})^{10}$ и
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^8 + (\frac{1}{2})^9 + (\frac{1}{2})^{10}$.
100 шаг:
$1 - (\frac{1}{2})^{100}$ и
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + ... + (\frac{1}{2})^{99} + (\frac{1}{2})^{100}$.
3) $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^6 + (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^8 + (\frac{1}{2})^9 + (\frac{1}{2})^{10} = 1 - (\frac{1}{2})^{10} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$
