Задание 8. Покажите, что верны равенства:
а) $\frac{5}{9} = \frac{55}{99} = \frac{555}{999}$;
б) $\frac{13}{77} = \frac{1313}{7777} = \frac{131313}{777777}$.

Решение

а) $\frac{5}{9} = \frac{5 * 11}{9 * 11} = \frac{55}{99}$;
$\frac{5}{9} = \frac{5 * 111}{9 * 111} = \frac{555}{999}$.

б)
$\frac{13}{77} = \frac{13 * 101}{77 * 101} = \frac{1313}{7777}$;
$\frac{13}{77} = \frac{13 * 10101}{77 * 10101} = \frac{131313}{777777}$.

Задание 9. Сократите дробь:
а) $\frac{78}{338}$;
б) $\frac{700}{840}$;
в) $\frac{255}{525}$;
г) $\frac{324}{405}$.

Решение

а)
$\frac{78}{338} = \frac{78 : 26}{338 : 26} = \frac{3}{13}$

б)
$\frac{700}{840} = \frac{700 : 140}{840 : 140} = \frac{5}{6}$

в)
$\frac{255}{525} = \frac{255 : 5}{525 : 5} = \frac{51}{105} = \frac{51 : 3}{105 : 3} = \frac{17}{35}$

г)
$\frac{324}{405} = \frac{324 : 9}{405 : 9} = \frac{36}{45} = \frac{36 : 9}{45 : 9} = \frac{4}{5}$

Задание 10. Сократите дробь:
а) $\frac{84 * 108}{48 * 126}$;
б) $\frac{96 * 35 * 110}{33 * 80 * 105}$.

Решение

а) $\frac{84 * 108}{48 * 126} = \frac{21 * 6}{12 * 7} = \frac{3 * 1}{2 * 1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
б) $\frac{96 * 35 * 110}{33 * 80 * 105} = \frac{32 * 1 * 11}{11 * 8 * 3} = \frac{4 * 1 * 1}{1 * 1 * 3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Задание 11. Найдите какие−нибудь три числа, которые:
а) больше $\frac{1}{7}$, но меньше $\frac{2}{7}$;
б) меньше $\frac{5}{9}$, но больше $\frac{4}{9}$.

Решение

а)
$\frac{1}{7} = \frac{1 * 4}{7 * 4} = \frac{4}{28}$;
$\frac{2}{7} = \frac{2 * 4}{7 * 4} = \frac{8}{28}$;
$\frac{4}{28} < \frac{5}{28} < \frac{6}{28} < \frac{7}{28} < \frac{8}{28}$;
$\frac{1}{7} < \frac{5}{28} < \frac{3}{14} < \frac{1}{4} < \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{28}, \frac{3}{14}, \frac{1}{4}$.

б)
$\frac{5}{9} = \frac{5 * 4}{9 * 4} = \frac{20}{36}$;
$\frac{4}{9} = \frac{4 * 4}{9 * 4} = \frac{16}{36}$;
$\frac{20}{36} > \frac{19}{36} > \frac{18}{36} > \frac{17}{36} > \frac{16}{36}$;
$\frac{5}{9} > \frac{19}{36} > \frac{1}{2} > \frac{17}{36} > \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{19}{36}, \frac{1}{2}, \frac{17}{36}$.

Задание 12. Не приводя дроби к общему знаменателю, установите, какая из них наибольшая:
а) $\frac{11}{20}, \frac{21}{40}, \frac{31}{60}$;
б) $\frac{23}{48}, \frac{17}{36}, \frac{35}{72}$.

Решение

а)
$\frac{11}{20} = \frac{10}{20} + \frac{1}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{20}$;
$\frac{21}{40} = \frac{20}{40} + \frac{1}{40} = \frac{1}{2} + \frac{1}{40}$;
$\frac{31}{60} = \frac{30}{60} + \frac{1}{60} = \frac{1}{2} + \frac{1}{60}$.
$\frac{1}{20} > \frac{1}{40} > \frac{1}{60}$, значит:
$\frac{11}{20} > \frac{21}{40} > \frac{31}{60}$.
Ответ: $\frac{11}{20}$ − наибольшая дробь.

б)
$\frac{23}{48} = \frac{24 - 1}{48} = \frac{24}{48} - \frac{1}{48} = \frac{1}{2} - \frac{1}{48}$;
$\frac{17}{36} = \frac{18 - 1}{36} = \frac{18}{36} - \frac{1}{36} = \frac{1}{2} - \frac{1}{36}$;
$\frac{35}{72} = \frac{36 - 1}{72} = \frac{36}{72} - \frac{1}{72} = \frac{1}{2} - \frac{1}{72}$.
$\frac{1}{36} > \frac{1}{48} > \frac{1}{72}$, значит:
$\frac{35}{72} > \frac{23}{48} > \frac{17}{36}$.
Ответ: $\frac{35}{72}$ − наибольшая дробь.

Задание 13. 1) Дана правильная дробь $\frac{2}{3}$. Запишите обратную ей дробь. Правильной или неправильной является эта дробь? Какая из этих дробей ближе к 1?
2) Запишите какую−нибудь правильную дробь и дробь, обратную ей. Какая из них ближе к 1? Проведите такой эксперимент еще раз.
3) Какая из дробей ближе к 1 − правильная или обратная ей неправильная? Поясните свой вывод.

Решение

1) $\frac{2}{3}$ − дробь;
$\frac{3}{2}$ − обратная дробь, неправильная.
$1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$;
$\frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$;
$\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ − значит, дробь $\frac{2}{3}$ ближе к 1.

2)
$\frac{3}{4}$ − дробь;
$\frac{4}{3}$ − обратная дробь, неправильная.
$1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$;
$\frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$;
$\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$ − значит, дробь $\frac{3}{4}$ ближе к 1.

3)
$\frac{3}{5}$ − дробь;
$\frac{5}{3}$ − обратная дробь, неправильная.
$1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$;
$\frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$;
$\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ − значит, дробь $\frac{3}{5}$ ближе к 1.

3) Из двух дробей − правильной и обратной к ней неправильной ближе к 1 находится правильная дробь.

Задание 14. Запишите координаты каждой точки, отмеченной на координатной прямой (рис. 1.2).

Ответ 7 гуру

а) A(0,2); B(0,3); C(0,6); D(0,9); M(1,1); N(1,4); K(1,7).
б) $A(10\frac{1}{6}); B(10\frac{2}{6}); C(10\frac{3}{6}); D(10\frac{4}{6}); E(10\frac{5}{6}); F(11\frac{3}{6}); G(11\frac{4}{6})$