Глава 1. Дроби и проценты
Ответы к разделу учебника 1.1 Что мы знаем о дробях

Задание 1

Изобразите какую−нибудь геометрическую фигуру (прямоугольник, круг или отрезок) и закрасьте ее часть, которая соответствует дроби:
а) $\frac{5}{8}$; б) $\frac{7}{9}$; в) $\frac{8}{12}$; г) $\frac{15}{25}$.

Ответ 7 гуру

Задание 2

1) Приведите дроби:
а) $\frac{4}{9}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{2}$ к знаменателю 18;  б) $\frac{7}{8}$, $\frac{5}{16}$, $\frac{21}{40}$ к знаменателю 80.
2) Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
а) $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$; б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{16}$; в) $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{20}$; г) $\frac{2}{9}$ и $\frac{7}{24}$.

Решение

1)
а) $\frac{4}{9} = \frac{4 * 2}{9 * 2} = \frac{8}{18}$;
$\frac{5}{6} = \frac{5 * 3}{6 * 3} = \frac{15}{18}$;
$\frac{7}{2} = \frac{7 * 9}{2 * 9} = \frac{63}{18}$.

б) $\frac{7}{8} = \frac{7 * 10}{8 * 10} = \frac{70}{80}$;
$\frac{5}{16} = \frac{5 * 5}{16 * 5} = \frac{25}{80}$;
$\frac{21}{40} = \frac{21 * 2}{40 * 2} = \frac{42}{80}$.

2)
а) $\frac{1}{3} = \frac{1 * 4}{3 * 4} = \frac{4}{12}$;
$\frac{1}{4} = \frac{1 * 3}{4 * 3} = \frac{3}{12}$.
Ответ: $\frac{4}{12}$ и $\frac{3}{12}$

б) $\frac{5}{8} = \frac{5 * 2}{8 * 2} = \frac{10}{16}$;
$\frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{10}{16}$ и $\frac{3}{16}$

в) $\frac{5}{8} = \frac{5 * 5}{8 * 5} = \frac{25}{40}$;
$\frac{3}{20} = \frac{3 * 2}{20 * 2} = \frac{6}{40}$.
Ответ: $\frac{25}{40}$ и $\frac{6}{40}$

г) $\frac{2}{9} = \frac{2 * 8}{9 * 8} = \frac{16}{72}$;
$\frac{7}{24} = \frac{7 * 3}{24 * 3} = \frac{21}{72}$.
Ответ: $\frac{16}{72}$ и $\frac{21}{72}$

Задание 3

В Древнем Риме при измерении величин применялись дроби со знаменателем 12. Вместо $\frac{1}{12}$ говорили "одна унция", вместо $\frac{5}{12}$ − "пять унций" и т.п. Выразите в унциях: половину, треть, четверть, пять шестых, три четверти.

Решение

Половина = $\frac{1}{2} = \frac{1 * 6}{2 * 6} = \frac{6}{12}$ = шесть унций;
треть = $\frac{1}{3} = \frac{1 * 4}{3 * 4} = \frac{4}{12}$ = четыре унции;
четверть = $\frac{1}{4} = \frac{1 * 3}{4 * 3} = \frac{3}{12}$ = три унции;
пять шестых = $\frac{5}{6} = \frac{5 * 2}{6 * 2} = \frac{10}{12}$ = десять унций;
три четверти = $\frac{3}{4} = \frac{3 * 3}{4 * 3} = \frac{9}{12}$ = девять унций.

Задание 4

Сократите дробь:
а) $\frac{24}{30}$; б) $\frac{12}{48}$; в) $\frac{20}{36}$; г) $\frac{14}{56}$; д) $\frac{44}{100}$; е) $\frac{36}{60}$.

Решение

а) $\frac{24}{30} = \frac{24 : 6}{30 : 6} = \frac{4}{5}$

б) $\frac{12}{48} = \frac{12 : 12}{48 : 12} = \frac{1}{4}$

в) $\frac{20}{36} = \frac{20 : 4}{36 : 4} = \frac{5}{9}$

г) $\frac{14}{56} = \frac{14 : 14}{56 : 14} = \frac{1}{4}$

д) $\frac{44}{100} = \frac{44 : 4}{100 : 4} = \frac{11}{25}$

е) $\frac{36}{60} = \frac{36 : 12}{60 : 12} = \frac{3}{5}$

Задание 5

Сравните дроби и запишите результат сравнения с помощью знаков >, < или =. В каждом случае расскажите, каким способом вы действовали.

Решение

а) $\frac{4}{5} = \frac{4 * 2}{5 * 2} = \frac{8}{10}$
$\frac{8}{10} > \frac{7}{10}$
$\frac{4}{5} > \frac{7}{10}$
Привел дроби к наименьшему общему знаменателю.

б) $\frac{5}{12} = \frac{5 * 6}{12 * 6} = \frac{30}{72}$
$\frac{7}{8} = \frac{7 * 9}{8 * 9} = \frac{63}{72}$
$\frac{30}{72} < \frac{63}{72}$
$\frac{5}{12} < \frac{7}{8}$
Привел дроби к наименьшему общему знаменателю.

в) $\frac{5}{6} = \frac{5 * 4}{6 * 4} = \frac{20}{24}$
$\frac{7}{8} = \frac{7 * 3}{8 * 3} = \frac{21}{24}$
$\frac{20}{24} < \frac{21}{24}$
$\frac{5}{6} < \frac{7}{8}$
Привел дроби к наименьшему общему знаменателю.

г) $\frac{6}{16} = \frac{6 : 2}{16 : 2} = \frac{3}{8}$
$\frac{3}{8} = \frac{3}{8}$
$\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$
Сократил дробь $\frac{6}{16}$.

д) $1\frac{1}{8} = \frac{8 * 1 + 1}{8} = \frac{9}{8}$
$\frac{9}{8} = \frac{9}{8}$
$\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$
Преобразовал смешанное число в неправильную дробь.

е) $1\frac{8}{20} = 1\frac{8 : 4}{20 : 4} = 1\frac{2}{5}$
$1\frac{2}{5} > 1\frac{2}{9}$
$1\frac{8}{20} > 1\frac{2}{9}$
Сократил дробь $1\frac{8}{20}$.

ж) $\frac{5}{9} < \frac{9}{5}$
Неправильная дробь больше правильной дроби.

з) $\frac{12}{11} > \frac{11}{12}$
Неправильная дробь больше правильной дроби.

Задание 6

Запишите дроби в порядке возрастания:
а) $\frac{3}{4}, \frac{11}{12}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}$;
б) $\frac{1}{15}, \frac{2}{5}, \frac{7}{15}, \frac{1}{3}$;
в) $\frac{1}{2}, \frac{17}{20}, \frac{2}{5}, \frac{3}{4}$;
г) $\frac{7}{10}, \frac{4}{5}, \frac{63}{100}, \frac{1}{2}$.

Решение

а) $\frac{3}{4} = \frac{3 * 3}{4 * 3} = \frac{9}{12}$;
$\frac{2}{3} = \frac{2 * 4}{3 * 4} = \frac{8}{12}$;
$\frac{5}{6} = \frac{5 * 2}{6 * 2} = \frac{10}{12}$;
$\frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12} < \frac{11}{12}$;
$\frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$.

б) $\frac{2}{5} = \frac{2 * 3}{5 * 3} = \frac{6}{15}$;
$\frac{1}{3} = \frac{1 * 5}{3 * 5} = \frac{5}{15}$;
$\frac{1}{15} < \frac{5}{15} < \frac{6}{15} < \frac{7}{15}$;
$\frac{1}{15} < \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \frac{7}{15}$.

в) $\frac{1}{2} = \frac{1 * 10}{2 * 10} = \frac{10}{20}$;
$\frac{2}{5} = \frac{2 * 4}{5 * 4} = \frac{8}{20}$;
$\frac{3}{4} = \frac{3 * 5}{4 * 5} = \frac{15}{20}$;
$\frac{8}{20} < \frac{10}{20} < \frac{15}{20} < \frac{17}{20}$;
$\frac{2}{5} < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} < \frac{17}{20}$.

г) $\frac{7}{10} = \frac{7 * 10}{10 * 10} = \frac{70}{100}$;
$\frac{4}{5} = \frac{4 * 20}{5 * 20} = \frac{80}{100}$;
$\frac{1}{2} = \frac{1 * 50}{2 * 50} = \frac{50}{100}$;
$\frac{50}{100} < \frac{63}{100} < \frac{70}{100} < \frac{80}{100}$;
$\frac{1}{2} < \frac{63}{100} < \frac{7}{10} < \frac{4}{5}$.

Задание 7

а) На тренировке Оля пробежала стометровку за $\frac{1}{3}$ мин, Галя − за $\frac{17}{60}$ мин, Вера − за $\frac{3}{10}$ мин, Зоя − за $\frac{4}{15}$ мин. В каком порядке девочки пришли к финишу, если они стартовали одновременно?
б) На путь от школы до стадиона Толя и три его друга затрачивают разное время:
Толя − $\frac{2}{5}$ ч;
Саша − $\frac{1}{2}$ ч;
Коля − $\frac{3}{10}$ ч;
Петя − $\frac{7}{12}$ ч.
Ребята вышли из школы одновременно. В каком порядке они придут на стадион?

Решение

а) 1) $\frac{1}{3} = \frac{1 * 20}{3 * 20} = \frac{20}{60}$ мин = 20 (с) − время, за которое пробежала Оля;
2) $\frac{17}{60}$ мин = 17 (с) − время, за которое пробежала Галя;
3) $\frac{3}{10} = \frac{3 * 6}{10 * 6} = \frac{18}{60}$ мин = 18 (с) − время, за которое пробежала Вера;
4) $\frac{4}{15} = \frac{4 * 4}{15 * 4} = \frac{16}{60}$ мин = 16 (с) − время, за которое пробежала Зоя;
5) 16 < 17 < 18 < 20 − значит, первой прибежала Зоя, второй Галя, третьей Вера, четвертой Оля.
Ответ: 1 место − Зоя; 2 место − Галя; 3 место − Вера; 4 место − Оля.

б) 1) $\frac{2}{5} = \frac{2 * 12}{5 * 12} = \frac{24}{60}$ ч = 24 (мин) − затратит на путь Толя;
2) $\frac{1}{2} = \frac{1 * 30}{2 * 30} = \frac{30}{60}$ ч = 30 (мин) − затратит на путь Саша;
3) $\frac{3}{10} = \frac{3 * 6}{10 * 6} = \frac{18}{60}$ ч = 18 (мин) − затратит на путь Коля;
4) $\frac{7}{12} = \frac{7 * 5}{12 * 5} = \frac{35}{60}$ ч = 35 (мин) − затратит на путь Петя;
5) 18 < 24 < 30 < 35 − значит, первым придет Коля, вторым − Толя, третьим − Саша, четвертым − Петя.
Ответ: ребята придут в следующем порядке: Коля, Толя, Саша, Петя.