Задание 152. Найдите закономерность, по которой строится последовательность чисел, и запишите следующие два числа; определите, как меняются члены последовательности − увеличиваются или уменьшаются:
а) 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; ...;
б) 0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; 0,23456; ...;
в) 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; ... .
Ответ 7 гуру
а) Закономерность такова, что последняя цифра каждой последующей дроби увеличивается на 1 и показывает количество нулей перед собой.
0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; 0,000006; 0,0000007.
Члены последовательности уменьшаются.
б) Закономерность: в каждом последующем числе каждый разряд в части после запятой уменьшается на единицу.
0,6; 0,56; 0,456; 0,3456; 0,23456; 0,123456; 0,0123456.
Члены последовательности уменьшаются.
в) Закономерность: к каждому последующему числу справа приписывается единица.
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; 0,111111; 0,1111111.
Члены последовательности увеличваются.
Задание 153. Найдите какую−нибудь десятичную дробь, заключенную между:
а) 2,7 и 2,8;
б) 0,8 и 0,9.
Ответ
а) 2,7 < 2,72 < 2,8
б) 0,8 < 0,83 < 0,9
Задание 154. Напишите три десятичные дроби, каждая из которых:
а) больше, чем 9,61, но меньше, чем 9,62;
б) меньше, чем 0,0001.
Ответы
а) 9,61 < 9,613 < 9,616 < 9,619 < 9,62
б) 0,00001 < 0,00002 < 0,00003 < 0,0001
Задание 155. Какие цифры можно подставить вместо звездочки, чтобы полученное неравенство было верным:
а) 0,488 < 0,4*8;
б) 1*,93 < 11,93;
в) 3,07 < 3,0*;
г) 6,*9 < 6,38?
Ответы
а) 0,488 < 0,4*8
0,488 < 0,498
б) 1*,93 < 11,93
10,93 < 11,93
в) 3,07 < 3,0*
3,07 < 3,08
3,07 < 3,09
г) 6,*9 < 6,38
6,09 < 6,38
6,19 < 6,38
6,29 < 6,38
Задание 156. Дана десятичная дробь 6,73401152. Вычеркните одну цифру после запятой так, чтобы дробь:
а) увеличилась;
б) уменьшилась.
Для каждого случая укажите все решения.
Решение
а) $6,7\cancel{3}401152 > 6,73401152$;
$6,734\cancel{0}1152 > 6,73401152$;
$6,7340\cancel{1}152 > 6,73401152$;
$6,73401\cancel{1}52 > 6,73401152$.
б) $6,\cancel{7}3401152 < 6,73401152$;
$6,73\cancel{4}01152 < 6,73401152$;
$6,734011\cancel{5}2 < 6,73401152$;
$6,7340115\cancel{2} < 6,73401152$.
Сравнение обыкновенной дроби и десятичной
Задание 157. Сравните:
а) $\frac{1}{3}$ и 0,5;
б) $\frac{1}{7}$ и 0,4;
в) 0,75 и $\frac{4}{5}$;
г) 0,25 и $\frac{1}{4}$;
д) $\frac{4}{9}$ и 0,4;
е) $\frac{1}{25}$ и 0,03.
Решение
а) $0,5 = \frac{1}{2}$;
$\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$;
$\frac{1}{3} < 0,5$.
б) $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$;
$\frac{1}{7} = \frac{5}{35}$;
$\frac{5}{35} < \frac{14}{35}$;
$\frac{1}{7} < 0,4$.
в) $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8$;
0,75 < 0,8;
$0,75 < \frac{4}{5}$.
г) $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$;
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$;
$0,25 = \frac{1}{4}$.
д) $\frac{1}{25} = \frac{4}{100} = 0,04$;
0,04 > 0,03;
$\frac{1}{25} > 0,03$.
Задание 158. Расположите числа в порядке возрастания:
а) $\frac{3}{4}; \frac{37}{500}; 0,7$;
б) $0,13; \frac{29}{200}; 0,125$.
Решение
а) $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75$;
$\frac{37}{500} = \frac{74}{1000} = 0,074$;
0,074 < 0,7 < 0,75;
$\frac{37}{500} < 0,7 < \frac{3}{4}$.
б) $\frac{29}{200} = \frac{145}{1000} = 0,145$;
0,125 < 0,13 < 0,145;
$0,125 < 0,13 < \frac{29}{200}$.
Задание 159. Найдите какую−нибудь обыкновенную дробь, большую 0,1, но меньшую 0,2.
Решение
$0,1 = \frac{1}{10} = \frac{10}{100}$;
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{20}{100}$;
$\frac{10}{100} < \frac{17}{100} < \frac{20}{100}$;
$0,1 < \frac{17}{100} < 0,2$.
Задание 160. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
1) В десятичной дроби с "длинным хвостом" зачеркнули две последние цифры. Что произошло с этой десятичной дробью?
2) В десятичной дроби с "длинным хвостом" среди цифр после запятой есть один нуль (все остальные цифры не нули). Этот нуль вычеркнули. Сравните получившееся число с исходным, если этот нуль стоял:
а) в конце десятичной дроби;
б) не в конце десятичной дроби.
Указание.
Прежде чем ответить на вопрос, поэкспериментируйте с числами.
Решение
1) Рассмотрим дробь 1,86243542.
$1,862435\cancel{42} = 1,862435$;
1,86243542 > 1,862435.
Дробь уменьшилась.
Рассмотрим дробь 1,86200042.
$1,862000\cancel{42} = 1,862$;
1,86200042 > 1,862.
Дробь уменьшилась.
Рассмотрим дробь 1,86255500.
$1,862555\cancel{00} = 1,862555$;
1,862555 = 1,86255500.
Дробь не изменилась.
Десятичная дробь с "длинным хвостом", у которой зачеркнули две последние цифры, уменьшилась, либо не изменилась, если эти цифры были нулями.
2) а)
Рассмотрим дробь 1,86243540.
$1,8624354\cancel{0} = 1,8624354$;
1,86243540 = 1,8624354.
Дробь не изменилась.
Рассмотрим дробь 1,84545450.
$1,8454545\cancel{0} = 1,8454545$;
1,84545450 = 1,8454545.
Дробь не изменилась.
Если у десятичной дроби с "длинным хвостом", у которой среди цифр после запятой есть один нуль (все остальные цифры не нули) этот нуль вычеркнуть, то число не изменится (при условии, что нуль находится в конце дроби).
б)
Рассмотрим дробь 1,86243504.
$1,862435\cancel{0}4 = 1,8624354$;
1,8624354 > 1,86243504.
Дробь увеличилась.
Рассмотрим дробь 1,86240354.
$1,8624\cancel{0}354 = 1,8624354$;
1,8624354 > 1,86240354.
Дробь увеличилась.
Если у десятичной дроби с "длинным хвостом", у которой среди цифр после запятой есть один нуль (все остальные цифры не нули) этот нуль вычеркнуть, то число увеличится (при условии, что нуль находится не в конце дроби).
